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定积分的定义和性质

第五章定积分及其应用

本章内容第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的计算第四节广义积分第五节定积分在几何上的应用第六节定积分在物理上的应用

第五章第一节定积分的概念与性质

本节主要内容一、定积分的定义三、定积分的几何意义二、可积函数类四、定积分的性质

引例1求右图中曲边梯形的面积。思路：将曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，用小矩形的面积近似小曲边梯形的面积。oxyab曲边梯形

曲边梯形如图所示，则曲边梯形面积oxyab

曲边梯形面积为

引例2（求变速直线运动的路程）思路：上设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔求物体在这段时间内所经过的路程。的一个连续函数，且度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。把整段时间分割成若干小段，每小段上速

（1）分割部分路程值（3）求和（4）取极限路程的精确值（2）取近似路程的近似值求曲边梯形的面积求直线运动的路程

一、定积分的定义定义若干个分点

符号名称积分号被积函数被积表达式积分变量积分区间积分下限积分上限

几点说明：1、两个任意性：积分值与区间的分割方法以及ξi的选取方法无关；2、定积分的值只决定于被积函数和积分区一个结论：当能够判定定积分存在时，可采用特殊的间，因而与积分变量的写法无关；分割方法和对ξi的特殊取法，通过定义求积分值3、定积分的本质

二、可积函数类定理1定理2定理3

xyabo=曲边梯形的面积；=曲边梯形的面积的负值；三、定积分的几何意义xyoba

3、一般情况下ab

例1根据定积分的几何意义知，此定积分是以R为解：OYXR半径的圆面积的四分之一故

例2解：由定积分的几何意义知oYX2ππ+－

练习

例利用定义计算定积分解

证明

在下面的讨论中，假定定积分都存在，且不四、定积分的性质两个补充规定说明：证：性质1(k为常数)。考虑积分上下限的大小，有特殊规定除外。

证:（此性质可以推广到有限多个函数之和的情况）性质2

说明：不论的相对位置如何,上式总成立。例如:若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3

证:性质4性质51

注意

推论：证:

补充

解：令于是

证:性质6

证:注：此性质可用于估计积分值的大致范围。性质7的最大值及最小值，则估值不等式

解：

解：

证：由闭区间上连续函数的介值定理知性质8（积分中值定理）则在积分区间[a,b]上至少存在一个点即

积分中值公式的几何解释：注意：定理中函数在[a,b]区间oXY上连续的条件不能减弱，若被积函数不连续，则结论可能不成立。

解：由积分中值定理知有使

小结１．定积分的实质：特殊和式的极限。２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分以直代曲，以不变代变取近似

3、定积分的几何意义；4、定积分的性质来源于极限的性质和连续函数的性质;利用定积分的性质可以比较定积分的大小，估计定积分的值等等。