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Infinite-dimensionalFrobeniusManifoldsUnderlyingthe
TodaLatticeHierarchy
DafengZuo[左达峰]
科学技术大学数学学院
Jointwith中，20158.22潍坊
1
Outline
1.IntegrablesystemandFinite-dimensionalFM
2.Motivation
3.Mainresult
4.Frominfinite-dimFMtofinite-dimFM
2
1.IntegrablesystemandFinite-dimensionalFM
AFrobeniusalgebra(A,e,·,,)isacommutativeassociativealgebra
Awithaunityeandanon-degeneratesymmetricinvariantbilinearform
(innerproduct),.
.OnedimensionalFrobeniusalgebrasaretrivialandtwodi-
mensionalalgebraareeasilyclassified.
3
AmanifoldMiscalledaFrobeniusmanifoldifoneachtangentspace
TMaFrobeniusalgebra(TM,·,e,,)isdefineddependinoothly
tt
ont∈M,andthefollowingconditions
[(F1)]theinnerproduct,isaflatmetriconM,and∇e=0;
[(F2)]letcbethe3-tensorc(X,Y,Z):=X·Y,Z,thenthe4-tensor
(∇Wc)(X,Y,Z)issymmetricinthevectorfieldsX,Y,ZandW;
[(F3)]thereisaso-calledEulervectorfieldEonMsuchthat∇∇E=0,
and
[E,X·Y]−[E,X]·Y−X·[E,Y]=X·Y,
LieEX,Y−[E,X],Y−X,[E,Y]=(2−d)X,Y,
wheredisaconstantnamedasthechargeofM.
4
Onann-dimensionalFrobeniusmanifoldM,onecanchoo
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