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周期数列详解

周期数列

一、周期数列的定义：

类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列。若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期数列，的最小值称为最小正周期，简称周期。

设{An}是整数,m是某个取定的大于1的正整数,若Bn是An除以m后的余数,即Bn=An(modm),且Bn在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m的模数列,记作{An(modm)}。若模数列{An(modm)}是周期的,则称{An}是关于模m的周期数列。

周期数列的性质

1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；

2、如果是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期。

3、若数列满足（，且），则6是数列的一个周期。

4、已知数列满足（，且为常数），分别为的前项的和，若（，），则，。

特别地：数列的周期为6，（即：）则

5、若数列满足，则数列是周期数列；

若数列满足，则数列是周期数列。

若数列满足，则数列是周期数列。

特别地：数列满足，则数列周期T=2；

数列满足，则数列周期T=3

数列满足，则数列周期T=2；

数列满足，则数列周期T=3

6、若数列满足a+d=0,则数列是周期T=2；

例：数列满足则数列是周期T=2；；

三、周期数列性质的简单应用

1、求数列的通项公式

（1）数列1，2，1，2，1，2，…的通项公式

解析：原数列可构造成：，，，，，，……，

它的通项公式可以写成：(n∈N)，

或者写成：(n∈N)，

又或者写成：(n∈N)，

(2)，，2，2，，，2，2，……

(1)的通项公式为易得，(2)的通项只要求出，，，，，，，，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数。

以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：

(n∈N)，

∴，，2，2，，，2，2，……的通项为：

(n∈N)，

∴，，1，3，，，1，3，……的通项为：

(n∈N)，

则原数列的通项为：

(n∈N)。

（4）：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式

乘以(－4)得：

，，，，，，，，，，，，……，

加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……，

它的通项公式为：

又化简整理得：

(n∈N)。

2、求数列中的项

例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列中，且对于大于的正整数，总有，则等于（）．

A．-5B．-2C．2D．3．

解析：由性质（2）知，数列是以6为周期的周期数列，而，再由性质（3）可得，故选A．

例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列满足（为实数），()，求．

解：()可变形为．我们发现与三角式十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系的原型．通过运算，发现本题中可取=，．显然此数列的周期是6．而，再由性质（3），得．

3、求周期数列的前项和

例5、设数列中，，且对，有=（）成立，试求该数列前100项和．

解：由已知条件，对任何自然数，有=，把式中的换成，得=．两式相减得，．因为，所以．所以是以4为周期的周期数列，而，再由性质（3），得．

例6（上海08质检题）、若数列满足，为的前项和，且，，求．

解析：由及性质（2），可知所以数列是以6为周期的周期数列．由，，知，，再结合，可求得，，；由递推关系式可进一步求得，，．因为，由性质（3），得．

4、求周期数列的极限

例7、（06北京）在数列中，，是正整数，且，，则称为“绝对差数列”．若“绝对差数列”中，，，数列满足，，分别判断当时，数列和的极限是否存在，如果存在，求出其极限值．

解析：因为在绝对差数列中，．所以自第20项开始，该数列是，，，，，，，…．即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当时，的极限不存在．当时，，所以．