2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学（含答案解析）.docxVIP

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2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设z＝5+i，则i（z+z）＝（）

A．10i B．2i C．10 D．﹣2

2．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x∈A}，则?A（A∩B）＝（）

A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5}

3．若实数x，y满足约束条件4x?3y?3?0x?2y?2?02x+6y?9?0则z＝x﹣5

A．5 B．12 C．﹣2 D．

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（）

A．﹣2 B．73 C．1

5．已知双曲线C：y2a2?x2b

A．4 B．3 C．2 D．2

6．设函数f（x）＝ex+2sinx1+x2

A．16 B．13 C．12

7．函数f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（）

A． B．

C． D．

8．已知cosαcosα?

A．23+1 B．23?1 C．

9．已知向量a＝（x+1，x），b＝（x，2），则（）

A．“a⊥b”的必要条件是“x＝﹣3”

B．“a∥b”的必要条件是“x＝﹣3”

C．“a⊥b”的充分条件是“x＝0”

D．“a∥b”的充分条件是“x＝﹣1+3”

10．已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：

①若m∥n，则n∥α或n∥β

②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β

③若n∥α，且n∥β，则m∥n

④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n

其中，所有真命题的编号是（）

A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④

11．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B=π3，b2

A．32 B．2 C．72

12．已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）

A．2 B．3 C．4 D．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．二项式(13+x)

14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比V甲V乙

15．已知a＞1，1log8a?

16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过12的概率是

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品

合格品

不合格品

总计

甲车间

26

24

0

50

乙车间

70

28

2

100

总计

96

52

2

150

（1）填写如下列联表：

优级品

非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果pp+1.65

附：K2

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝3an+4．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn=(?1)n?1nan

19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4，AB=BC=EF=2，ED=10，FB=2

（1）证明：EM∥平面BCF；

（2）求二面角A﹣EM﹣B的正弦值．

20．已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．

（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；

（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

21．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F

（1）求C的方程；

（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．

四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做