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作两圆相交时常用的辅助线例说

1．公共弦

例1如图1，已知和相交于点、，经过点的直线分别交两圆于点、，经过点的直线分别交两圆于点、，且，

图1

图1

证明：连结，

∵为的圆内接四边形，

∴，

又∵为的圆内接四边形，

∴，，

∴，

又∵，

∴四边形是平行四边形，∴．

2．连心线

图2 例2如图2，已知和相交于点、，在上，是的直径，与相交于点，连结．

图2

(1)求证：是的直径．

(2)求证：．

(3)若，求的值．

证明：(1)连结，

∵是的直径，

∴，

∴，是的直径．

(2)连结，

∵，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴．

(3)解：连．

3．半径

例3如图3，半径为和()的两圆与相交，公切线与连心线的夹角为，两圆公切线的长为()

图3

图3

C．D．

解：连结、，

∴为公切线，

∴．

又∵，

，

∴本题应选C．

图4 例4如图4，已知与相交于、两点，连心线和相交于、两点，、的延长线分别和相交于点、，求证：．

图4

证明：过作．，

∵是连心线，是公共弦，

∴垂直平分，

∴，

∴，

∴．

5．平移公切线

例5如图5，若的半径为11，的半径为6，圆心距是13，则两圆的公切线长是____________．

图5 解：过

图5

得矩形，

，

在中，

，

∴公切线长为12．

6．连交点与圆心

图6 例6如图6，、相交于、两点，分别交于、，、的延长线的交点在上，与相交于点，

图6

求证：(1)．

(2).

证明：(1)∵垂直平分公共弦，并由垂径定理得．

又，

．

(2)连结，

，

，

，

由割线定理可得，．

7．过交点的弦

例7如图7，已知中，的平分线与边和外接圆分别相交于点和，延长交过、、三点的圆于．

图7

图7

1

2

3

4

(2)若，求的值．

证明：(1)连结、，

∵平分，∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠2=∠4，

(2)解：由(1)得

，．

，

由割线定理得