高考数学复习：柯西不等式.pdf

《每周一讲》

《竞赛不等式专题》讲义

第二节柯西不等式

一、柯西不等式

、2222222（等号成立）

1(aa...a)(bb...b)(abab...ab)ab

12n12n1122nnii

aa22a(aa...a)22

2、常用变形：1...2n12n

bbbbb...b

12n12n

二、例题选讲

1、已知：a,a,a,...,a0，且aa...a1，求证：

123n12n

121212(n1)22

(a)(a)...(a)12n

aaan

12n

2

1212n2

(a)(1)(1)



122

a1a1a1(n1)

证明：LHS

nnnn

2、abcd,,,R，且满足abcd3，a2b3c6d52222，求证：1a2

211122222

证明：由柯西不等式有5a()(2b3c6d)(bcd)(3a)

236

得到不等式5a(3a)a3a201a2222

1113

3、已知：abc,,0，且abc1，求证：

a(bc)b(ca)c(ab)2222

2222222

bccaab(abbcca)3abca(bc)3

证明：LHS

bccaab2(abc)2(abc)2