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高考数学复习专题-基本不等式
高考数学复习专题基本不等式
基本不等式:
(1)了解基本不等式的证明过程.
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
一、基本不等式
1.基本不等式:
(1)基本不等式成立的条件:.
(2)等号成立的条件,当且仅当时取等号.
2.算术平均数与几何平均数
设,则a、b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.利用基本不等式求最值问题
(1)如果积xy是定值P,那么当且仅当时,x+y有最小值是.(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值P,那么当且仅当时,xy有最大值是.(简记:和定积最大)
4.常用结论
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高考数学复习专题-基本不等式全文共1页,当前为第1页。(5)
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二、基本不等式在实际中的应用
1.问题的背景是人们关心的社会热点问题,如物价、销售、税收等.
题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解;
2.经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及
等.学%科网
解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质,基本不等式,函数的单调性或导数求解.
考点突破一利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的常用技巧:
(1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式.
(2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,如构造“1”的代换等.常见的变形手段有拆、并、配.
①拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件.
②并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先由一组应用基本不等式,再组与组之间应用基本不等式得出最值.
③配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值.
(3)若一次应用基本不等式不能达到要求,需多次应用基本不等式,但要注意等号成立的条件必须要一致.注:若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求解.
高考数学复习专题-基本不等式全文共2页,当前为第2页。
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典例1若正数a,b满足,则的最小值为
A.1 B.6
C.9 D.16
【答案】B
【解析】解法一:因为,所以a+b=ab?(a?1)·(b?1)=1,
所以=2×3=6(当且仅当,b=4时取“=”).
故的最小值为6.
解法三:因为,所以,
所以(当且仅当b=4时取“=”).
故的最小值为6.
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.
1.(1)已知,求函数的最大值;
(2)已知(正实数集),且,求的最小值.
考点突破二基本不等式的实际应用
高考数学复习专题-基本不等式全文共3页,当前为第3页。有关函数最值的实际问题的解题技巧:
高考数学复习专题-基本不等式全文共3页,当前为第3页。
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.
典例2优质试题年,在国家创新驱动战略下,北斗系统作为一项国家高科技工程,一个开放型的创新平台,1400多个北斗基站遍布全国,上万台设备组成星地“一张网”,国内定位精度全部达到亚米级,部分地区达到分米级,最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备,已知这台设备维修和消耗费用第一年为元,以后每年增加元(是常数),用表示设备使用的年数,记设备年平均维修和消耗费用为,即(设备单价设备维修和消耗费用)设备使用的年数.
(1)求关于的函数关系式;
(2)当,时,求这种设备的最佳更新年限.
(2)由(1)可知,当,时,
,
当且仅当.
答:这种设备的最佳更新年限为15年.
【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型,一般来说,都是从具体的问题背景,通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型上靠拢.
2.要制作一个体积为,高为的有盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每
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