厘清算理 构建算法——两位数乘两位数乘积的位置如何确定？ 论文.docx

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厘清算理建构算法

——两位数乘两位数乘积的位置如何确定？

摘要：从学生对于两位数乘两位数笔算存在的常见错误切入，透视背后隐含的算理理解误区，即片面强调位值中“位”的理解而忽略位值中“值”的理解。通过完整的数、拆分和运算律的方法来探寻乘法算理和算法的理解路径，并重构教学设计予以佐证。

关键词：两位数乘两位数；算理；算法；位值；数学理解

一、问题凝视：两位数乘两位数笔算的常见错误

“两位数乘两位数（进位）”是苏教版小学数学三年级下册的教学内容，学生有两位数乘一位数的计算经验，在新授时，会发现很多学生在列竖式计算时会犯如下的错误，如图1，他们往往会将中间步骤的乘积错误排列。为何会出现这种现象呢？实际上，现有研究表明这并非由于学生粗心所导致，而是数学学习中存在的一个问题。

图1

两位数乘两位数的进位乘法，与两位数乘一位数的进位乘法有很大的不同。其笔算（竖式计算）是学生学习乘法的一个特殊阶段，是一个质变的过程。计算两位数乘一位数，在竖式中写积时，如果需要进位，可以先在旁边作寄存标记。但是在计算两位数乘两位数时，求第二部分的乘积，由于缺少位置作寄存标记，从而对学生口算能力及短时记忆的要求提高，这无疑加大了思维难度。在竖式中第二部分的乘积如何记录到准确位置，更是学生理解的一个难点。但只要掌握了两位数乘两位数，后续的乘数是三位、四位数时，就只是一个量变和类推的过程。限于篇幅，本文仅围绕后一个问题展开。

二、成因透视：关于乘法笔算中“位值”的理解误区

部分学生在笔算两位数乘两位数时，出现上述共性错误，究其原因，主要是对位值的理解不够透彻、不够全面，仅片面强调对“位”或“值”的理解。

（一）片面强调位值中“位”的理解

这部分学生的理解更多的是在列竖式计算时如何数位对齐，往往会记住计算的规则，从过程出发来理解“位值”，侧重于位值中“位”的理解，将其理解为数字的位置，强调数位。这些同学的观点：“看到5，却忽略了这是十位上的5，算出的结果120的0应该对齐十位来写，哪一位与24相乘，积就应该写在哪一位的下面，乘法计算时应该保证数位对齐。”很明显，这部分学生对计算中位值的理解倾向于程序性的理解，强调记忆顺序，记忆位置。即记住5×24对齐的是十位，至于为什么要与十位对齐并不关注。这往往会造成记忆出错，从而导致竖式中书写错误。

（二）片面强调位值中“值”的理解

这部分同学在理解两位数乘两位数时，往往思考“为什么数位要对齐？”他们强调对位值概念本质的理解，侧重于位值中“值”的理解，也就是在竖式中，每一个数字所在位置代表的“值”。这些同学的观点：“24乘十位上的5，得到的是120个十，所以120的0要写在十位上。表面上看的是计算24×5，但5在十位上，得到的是120个‘十’，所以要对齐十位来写。”很明显，出错的同学是没明白第二个因数中的5表示的是5个一，还是5个十，也就是没明白竖式中的数位和数值之间的关系，因此强调每一个数字表示的数值是多少很重要。

从上述同学们列竖式计算的两种不同观点，我们能发现，做正确的同学一般会从位值概念的本质去理解，为什么5×24的结果120要移位，而不是对齐个位来写，都强调5在十位上，表示的是5个十，5个十乘24得到120个十，因此要对齐十位写出结果。学生只有深刻理解位值才能理解算理，掌握算法。这是教学中要特别关注的一点。实际上，位值教学是隐含在数学运算的教学中的，学生理解起来并不困难。

三、出路审视：探寻两位数乘两位数笔算的本质理解

（一）完整的数的方法

针对部分学生在竖式计算两位数乘两位数中出现的错误，在教学中可以通过以前学过的乘法的意义进行纠正。将数看成完整的集合，24×53即53个24相加，然后从乘法意义角度理解，有50个24，而不是5个24。如果学生对竖式理解存在困难，可以设置如下步骤：

首先24×53表示什么意思？学生解释，是53个24相加；

其次让学生写出加法算式，24+24+……+24，理解50个24；

50个

最后与竖式对照，让学生发现算的50个24，不是5个24，得到十位上的5表示的是50，所以结果的末尾要和十位对齐。

这种方法适合的是学困生，他们在以前的学习中对乘法意义和位值未能理解清楚，很难直接面对竖式解释，所以要返回乘法的原点去理解。

（二）拆分的方法

拆分的方法是基于学生口算的一种策略，这是借助学生已有的整十数口算的策略，所有拆分策略都需要依赖分配律的性质。可以设置如下步骤帮助学生理解：

首先引导学生知悉24×53可以分成两个算式，一个是24×3=72，另一个是24×50=1200，接着把两个积相加72+1200=1272。如图2。写成竖式时，要明确第一个积是72，7个十和2个一分别对齐十位和个位，第二个积是1200，也就