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基于问题关联，浅析与探索以题会类

摘要：数学教学的三个思考，从“知其然”到“知其所以然”提升至“何由以知其所以然”，以知识溯源为思维引路，以“教会学生怎么想”为能力抓手，坚持“同一类型还可怎么做”为拓展方向，探究部分数学题型深入浅出的解答，从强调怎么做的到迁移能力的培养，达到既要快又要准的找出解题思路，笔者从数学学科的重点题型入手，浅谈江苏部分中考题型的解答，以达到以题会类的效果。

关键词：数学模型数形结合类比关联

“怎么入手”、“怎么想到这种方法”、“同一类型还可怎么做”，注重知识的“生长点”与“延伸点”，抓住同类题型的关联点。近年来，中考题型压轴题多以最值问题、路径问题、倍角问题等，多与动点、动线、图形旋转等问题关联，初中数学难在几何，成在几何，这类题目往往是大部分考生的拦路虎，但细究之下，发现很多题目都是有规律可循，代数有方法几何有模型，基本的定理和必备的几何模型往往就是解答压轴题的突破口，所以夯实几何基础，具有事半功倍的效果。

一、基于基本定义，挖掘隐圆条件

实践和操作在空间与图形的学习中显得尤为重要，学生进一步认识简单几何体和平面图形，感受平移、旋转、对称等现象，从一般到特殊，学习描述物体相对位置的一些方法，建立初步的空间观念。我们要做好类别的划分，在研究重点题型的解答方法时，并通过研究针对不同题型有不同的解题方法来提高学生的解题能力与应对能力。例如，隐圆类型有多种，有“圆”千里来相会，寻找圆的影子，让“圆”形毕露。

描述性定义，在一个平面内，线段OA绕它的固定的一个端点旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

几何形定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点做成的图形（形成的轨迹）叫做圆。

如图如图1-3所示，在¨ABCD中，AB=6,BC=8,P为BC边上一动点.以直线AP为对称轴将ΔABP翻折得到ΔAB’P,当DB’最小时，线段CP长为???????????.

方法：由定点找定长出现圆形.在翻转中A点始终固定不变为定点，而翻转后AB的长度也固定不变，所以AB为定长.从而得到B’的运动轨迹是以A为圆心AB为半径的圆，如图1-3-1所示，当点A、B’、D在一条直线上时DB’最小，最小值为DB’.可计算得：DB’的最小值为2。

例2：（宿迁2020中考）如图矩形ABCD中，AB=1,AD=,点P为AD边上一个动点，连接BP,线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当P从A点远动到D点时，线段PQ在平面内扫过的面积为___________.

二、类比同类模型，构造一线三角

一线三垂直和一线三等角，是初中数学常见的数学模型，应用非常广泛，如下图是两种最基础的模型，由此会演变出来的几种不同的样式。在江苏2019和2020年中考中应用。

例：（盐城2019）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1分别交x、y轴于A、B两点将直线AB绕点A逆时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的直线表达式________.

如何通过相似或全等解决这类中考题，充分利用给定角度45°（或60°等），利用一线三垂直构造辅助线，如图过A点作AD?BC垂足为D点，作DE?X轴垂足为E点，这样三角形的关系立刻出来。

例：（宿迁市2020）中考题27题【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠AEB＝90°，点E在边CD上，∠C＝∠D＝90°，求证：＝．

【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且＝，连接BG交CD于点H．

求证：BH＝GH．

【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB十∠DEC＝180°，且＝，过E作EF交AD于点F，若∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG＝CG．

图一、图二是我们常见的一线三垂直，由图一很自然想到图二辅助线的做法，构造两次相似，图三是演化后的一线三等角，层层深入，图二的思路对于图三的解答作用重大。图一只需要一次相似，图二需要两次。如图二，做辅助线FI?CD，由一线三垂直可得△ADE∽ECB,可得,同理△DGE∽△IEF,可得,由题意可得，两个式子比值相等从而得到两条线段。如图三，此问难度较大一些，类比第二个问题，画两条辅助线构造一线三等角，作∠BME=AME,从而得到△AFE∽EMB,作CN∥BM，△DFE∽△ENC,通过两组相似可得对应线段成比例，是两个相似三角形联系的纽带，思路和第二问相同。这道中考题把一线三角垂直和相等应用的淋漓极致。

三、动点动线动角，主动从动紧密相连

2019和2020江苏部分中考试题出现一个定点两个动点，主动、从动点互为主从这种情况，主动线和从动线夹角固定比值固定，数学史上称为