黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2023-2024学年度高一下学期期中考试数学试卷【含答案】.docx

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黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2023-2024学年度高一下学期期中考试数学试卷【含答案】

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.40分）

1．（5分）（2+i）（3﹣2i）＝（）

A．4﹣i B．8﹣i C．4+i D．8+i

2．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，A′B′＝2，则该平面图形的高为（）

A． B．2 C． D．

3．（5分）已知α，β为两个不同的平面，m，n，l为三条不同的直线（）

A．若α∥β，且m?α，则m∥β

B．若α∩β＝l，且m∥l，则m∥α

C．若m∥α，n∥α，则m∥n

D．若l∥m，l∥n，且m，n?α，则l∥α

4．（5分）记复数z的共轭复数为，若z（1+i）＝2﹣2i（）

A．1 B． C．2 D．

5．（5分）圣?索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣?索菲亚教堂的高度，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线），在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣?索菲亚教堂的高度CD约为（）

A．54m B．47m C．50m D．44m

6．（5分）如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，AB，若PC＝2，CD＝1，则AB＝（）

A． B．2 C． D．3

7．（5分）如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，CD，AD，则下列说法中不正确的是（）

A．M，N，P，Q四点共面 B．∠QME＝∠CBD

C．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为梯形

8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b＝2ccosA，且，则△ABC的面积取最大值时（）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）

（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）

A．若直线l与平面α不平行，则l与α相交

B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥α

C．经过两条平行直线有且仅有一个平面

D．如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行

（多选）10．（6分）已知，，为非零向量，下列说法正确的是（）

A．向量在向量上的投影向量可表示为

B．若∥，∥，则∥

C．若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线

D．若?＝?，则＝

（多选）11．（6分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，M，N分别为棱C1D1，B1C1的中点，则下列说法正确的是（）

A．直线DM与直线BN是异面直线

B．直线DM，直线BN，直线CC1交于一点

C．直线DM与直线BB1所成的角为60°

D．直线DM与直线AB所成的角的正切值为2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（5分）设是不共线的两个向量，．若A，B，则k的值为．

13．（5分）已知复数z＝（k2﹣3k﹣4）+（k﹣1）i（k∈R），若复数z在复平面上对应的点位于第二象限，则k的取值范围为．

14．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，，∠BAD＝90°．若P为线段AB上一动点，则．

四、解答题（共77分）

15．（13分）已知向量，，求：

（1）；

（2）||；

（3）．

16．（15分）已知△ABC内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b+c）（b+c﹣a）＝3bc．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若a＝2，△ABC的面积为，求b

17．（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M分别在棱AB，PC上，连接ME．

（1）若M为PC的中点，求证：ME∥平面PAD；

（2）若ME∥平面PAD，求点M的位置．

18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，2AB＝2BC＝AD＝2，设E，PA的中点，．

（1）证明：CE∥平面PAB；

（2）证明：平面BOF∥平面CDE．

19．（17分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2B﹣cos2A＝4（cosC﹣cos3C）．

（1）若C＝，求A；

（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．

参考答案与试题解析

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.40分）

1．（5分）（2+i）（3﹣2i）＝（