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高二数学双曲线知识点及高考例题

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高二数学双曲线知识点与高考例题

1.双曲线第一定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数〔小于|F1F2|〕的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离|F1F2|叫焦距.

2.双曲线的第二定义：

平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e〔e1〕的点的轨迹叫双曲线.定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线,常数e叫双曲线的离心率.

3.双曲线的标准方程：

〔1〕焦点在x轴上的：

〔2〕焦点在y轴上的：

〔3〕当a＝b时,x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线.

注：c2＝a2＋b2

4.双曲线的几何性质：

2对称性：图形关于x轴、y轴,原点都对称.

3顶点：A1〔-a,0〕,A2〔a,0〕

线段A1A2叫双曲线的实轴,且|A1A2|＝2a；

线段B1B2叫双曲线的虚轴,且|B1B2|＝2b.

e越大,双曲线的开口就越开阔.

5．若双曲线的渐近线方程为：

则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

[典型例题]

例1.选择题.

A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线

则△F1PF2的面积为〔〕

例2.

例3.已知B〔-5,0〕,C〔5,0〕是△ABC的两个顶点,且

,求顶点A的轨迹方程.

高二数学双曲线知识点及高考例题全文共1页，当前为第1页。例4.〔1〕求与椭圆的双曲线的标准方程.

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〔2〕求与双曲线的双曲线的标准方程.

例5.

〔1〕过点M〔1,1〕的直线交双曲线于A、B两点,若M为AB的中点,求直线AB的方程；

〔2〕是否存在直线l,使点为直线l被双曲线截得的弦的中点,若存在求出直线l的方程,若不存在说明理由.

例六：1.若表示焦点在y轴上的双曲线,那么它的半焦距c的取值X围是〔〕

A. B.〔0,2〕 C. D.〔1,2〕

2.双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为〔〕

A.2或 B.2 C. D.

3.圆C1：和圆C2：,动圆M同时与圆C1与圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.

[例题答案]

例一：

解：1.把所给方程与双曲线的标准方程对照

易知：2+m与m+1应同号即可.

∴选A

易知：x2的系数为负,y2的系数为正

∴方程表示焦点在y轴上的双曲线

4.由双曲线方程知：a＝4,b＝3,c＝5

、

例二：

解：设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1,〔AB0〕

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分析：在△ABC中由正弦定理可把转化为,结合图形可知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点,实轴长为6的双曲线的左支.

解：在△ABC中,|BC|＝10

∴顶点A的轨迹是以B、C为两个焦点,实轴长为6的双曲线的左支

又∵c＝5,a＝3,∴b＝4

注：〔1〕利用正弦定理可以实现边与角的转换,这是求轨迹方程的关键；

〔2〕对于满足曲线定义的,可以直接写出轨迹方程；

〔3〕求轨迹要做到不重不漏,应删除不满足条件的点.

例四：

解：〔1〕由椭圆方程知：

〔2〕解法一：

∴双曲线的焦点必在x轴上

解法二：

例五：

解：〔1〕设AB的方程为：y－1＝k〔x－1〕

〔1〕另解法：

当x1＝x2时,直线AB与双曲线没有交点.

〔2〕假设过的直线l交双曲线于C〔x3,y3〕,D〔x4,y4〕两点

例六：

1.答案：A

2.答案：A

3.分析：解决本题的关键是寻找动点M满足的条件,对于两圆相切,自然找圆心距与半径的关系.

解：设动圆M与圆C1与圆C2分别外切于点A和B,根据两圆外切的充要条件知：

即动点M与两定点C1、C2的距离的差是2

根据双曲线定义,动点M的轨迹是双曲线左支〔点M与C2的距离大于与C1的距离〕

这里

设M〔x,y〕

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