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有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为⾃然数)
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是⽆限不循环⼩数,不能写成分数形式,不是有理数。②
有限⼩数和⽆限循环⼩数都可化成分数,都是有理数。
注意:引⼊负数以后,奇数和偶数的范围也扩⼤了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分
正整数正整数
整数0正有理数
负整数正分数
有理数有理数0(0不能忽视)
正分数负整数
分数负有理数
负分数负分数
总结:①正整数、0统称为⾮负整数(也叫⾃然数)
②负整数、0统称为⾮正整数
③正有理数、0统称为⾮负有理数
④负有理数、0统称为⾮正有理数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点,正⽅向,单位⻓度的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是⼀条向两端⽆限延伸的直线;⑵原点、正⽅向、单位⻓度是数轴的三要素,三者缺⼀不
可;⑶同⼀数轴上的单位⻓度要统⼀;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以⽤数轴上的点来表示,正有理数可⽤原点右边的点表示,负有理数可⽤原点左边
的点表示,0⽤原点表示。
⑵所有的有理数都可以⽤数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数
轴上的点不是⼀⼀对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
3.利⽤数轴表示两数⼤⼩
⑴在数轴上数的⼤⼩⽐较,右边的数总⽐左边的数⼤;
⑵正数都⼤于0,负数都⼩于0,正数⼤于负数;
⑶两个负数⽐较,距离原点远的数⽐距离原点近的数⼩。
4.数轴上特殊的最⼤(⼩)数
⑴最⼩的⾃然数是0,⽆最⼤的⾃然数;
⑵最⼩的正整数是1,⽆最⼤的正整数;
⑶最⼤的负整数是-1,⽆最⼩的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a0表示a是正数;反之,a是正数,则a0;
⑵a0表示a是负数;反之,a是负数,则a0
⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动,向左移动⼏个单位⻓度则减去⼏,向右移动⼏个单位⻓度则加上⼏,从⽽得到所需的点
的位置。
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中⼀个是另⼀个的相反数,0的相反数是0。
注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若⼀个为正,则另⼀个为负;
⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有⼀个;
⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
3.相反数的⼏何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应
点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。
说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求⼀个数的相反数,只要在它的前⾯添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);
⑵求多个数的和或差的相反数是,要⽤括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。
化简得-5a-b);
⑶求前⾯带“-”的单个数,也应先⽤括号括起来
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