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借助隐形的翅膀—圆，解决定弦定角问题

摘要数学问题的探索重在揭示问题的本质，进而找到解决一类问题的通解。对于“定弦定角问题”的探究问题，主要借助于以下知识点：1）直径所对的圆周角是直角；2）90°的圆周角所对的弦为直径；3）在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等。在此基础上将问题延伸，利于学生深度思考，从而达到“解一题，会一类”的效果。

关键词定弦定角数学建模

问题背景

新课程标准要求学生把学习数学知识的过程当做建立数学模型的过程，并在建模的过程中培养学生数学应用意识，引导学生自觉地应用数学方法和数学思维去分析、解决生活中的问题。[1]因此教师在教学过程中不但要引导学生建立数学模型，更重要的是让学生在探究性教学的学习过程中，合情、合理、高效的做到自主建构模型，切实做到水到渠成。

笔者发现2018年南通市中考题28题第（3）问，难度系数较大。通过钻研，笔者将此题的知识点细化，并将问题层层剖析，给学生搭建好“台阶”，进而让他（她）有迎难而上的勇气，拾阶而上。

二、问题呈现

[定义]如图1，A、B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A’，连接A’B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A、B关于直线l的“等角点”。

[运用]如图2，在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，），B(-2,-)两点。

若点P是点A，B关于直线y=ax+b(a≠0)的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围。

从（3）中我们发现：除了要根据问题背景理解“等角点”的概念以外，关键是解决了动点P的运动轨迹问题。于是笔者主要先设置问题，遵循从“特殊”到“一般”的设计思路，建立并抽象出数学模型，并将第（3）问当成是“母问题”，并把它逐渐细化，形成若干“子问题”，顺理成章的为学生搭建好“台阶”，真正达到“拾阶而上，化险为夷”。

三、问题探究，“大”题“小”做

1.问题情境具体化，在同感中培养高阶思维

生活中处处有数学，把数学与我们经验结合起来，让学生体会数学价值的延续性与无限性。因此课堂教学中，恰当的问题情境是探究式教学的起点和关键，问题提出的质量直接影响后续问题的探究。

复杂的几何综合题，往往是若干个小知识点的综合体。因此，在通往“荆棘”的综合道路上，需要巧设小问作为台阶，层层铺垫，把简单问题搞清楚，做到“小题大作”，关联类比，这样才能从容面对“荆棘之路”，于是笔者创设下列问题情境，抽象出本节的数学模型。

（1）如图3，已知AB=4，在直线AB上方是否存在一个动点P，使得∠APB=90°？如果存在，点P满足什么条件？

（2）如图4，已知AB=4，在直线AB上方是否存在一个动点P，使得∠APB=45°？如果存在，点P满足什么条件？

（3）如图5，已知AB=4，在直线AB上方是否存在一个动点P，使得∠APB=120°？如果存在，点P满足什么条件？

2.模型探究一般化，在提炼中培养学生高层次思维

数学建模是一种重要的思想方法，在中学数学教学与解题中，作用巨大。因此，利用数学模型解决问题的数学建模教学成为数学教育改革的一个热点。在教学中若能帮助学生建立最基本的数学模型，那么学生在综合题的解决中定能如鱼得水。

在上述三个问题的基础上，顺理成章的将上述问题一般化，提出第四个问题。

（4）如图6，已知AB=a，在直线AB上方是否存在一个动点P，使得∠APB=α？如果存在，点P满足什么条件？

图6

图6

图5图4

图5

图4

经过激烈讨论，数学模型自然生成。

[数学模型]：若AB=a（定值），P为平面内的一动点，且∠APB=α（定角），则点P的运动轨迹为：在以AB为弦，圆心角为2α的圆上运动。

3.数学经验再生化，在实践中培养学生织出数学知识网

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要方式，数学活动经验需要在“做”与“思考”中沉淀。教学中教师结合具体学习内容，设计高效的探究式活动，使学生经历数学的发生、发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。[2]。因此在模型提炼的基础上需要设计数学活动，加深对模型的认识，积累一些新的活动经验，实现经验再生。

如图7，在平面直角坐标系中，已知点A（2，），B（-2，-），平面内有一个动点P，满足∠APB=60°，请你提出一个有意义的问题？并解决。

笔者设计了一个简单的开放性问题，让学生初步感受

AB长度一定，∠APB度数也一定。知道了点P的运动轨迹是

以AB为弦，圆心角为120°的圆上运动，于是学生可能提出

如下问题：

①求AB的长度；②点P的运动轨迹是什么？

③求点P所在圆的圆心E的坐标。

当学生问出第三个问题时，也是对第②个问题的再深化。单单知道点P运动轨迹是圆还不够，还要进一步理解为何在问题背景“已知AB=a，在直线AB上