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不可约多项式的性质和判定

摘要

数论中许多有关整数的概念和结论可以推广到多项式上去。本文首先将整数的算术基本定理推广到多项式理论中，得到多项式的基本定理；然后将素数的一些性质推广得到不可约多项式的一些性质；最后介绍素性检验常用方法，相应地，论述了不可约多项式的常用判别法。

关键词：素数，多项式，算术基本定理。

Abstract

Manyconceptsandconclusionsaboutintegersinnumbertheorycanbeextendedtopolynomials.Wefirstdeducethefundamentaltheoremofarithmetictopolynomialtheory,andobtainthefundamentaltheoremofpolynomials.Thenweextendsomepropertiesofprimenumberstosomepropertiesofirreduciblepolynomials.Finally,thecommonmethodsofprimalitytestareintroduced.Accordingly,thecommondiscriminantmethodsofirreduciblepolynomialsarediscussed.

Keywords:Primes,Polynomials,FundamentalTheoremsofArithmetic.

目录

引言3

第二章算术基本定理及其在多项式情形下的推广6

第三章素数的性质及其在多项式情形下的推广10

第四章素性检验以及不可约多项式的判定13

参考文献19

第一章引言

整数和多项式是数论的主要研究对象之一。在数论研究中，一个常用的研究方法就是把有关整数成立的结论推广到多项式中去，我们发现，大多数情形下，结论惊人的类似。例如将整数的带余除法、辗转相除法、中国剩余定理推广到多项式中去（[2]、[7]等中都有具体的介绍），当然，也有不同的结论。如整数环是主理想整环（它的每个理想都是主理想），而多项式环一般不是主理想整环。例如整系数多项式环中(2,x)就不是一个主理想（详细证明见[19]），所以不是主理想整环。本文将从算术基本定理（定理2.1.1）出发，介绍算术基本定理的内容及其证明过程，并将其推广到多项式中得到类似的结论。

整数的研究重点是素数，素数十分有趣，有许多关于素数的问题表述它们都很简单，但证明却十分困难。有许多关于素数的猜想至今还没能得到解决。古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）发明了一种寻找素数的筛法，通过筛掉剩下的数的倍数得到给定范围的素数（详见4.1），通过筛法我们能够得到许多素数，但素数是否有无穷多个？这个问题在2000多年前由欧几里得（Euclid）证明：素数确实有无穷多个（详见3.1）。

容易证明除了2和3以外，任意两个相邻素数（我们称两个素数为相邻的，如果它们之间不存在其它的素数）的差都是2的倍数，我们称相差为2的两个素数为孪生素数。随意给出一小列素数：13、17、19、23、29、31，我们可以发现（17，19）、（29，31）每一对中的两个素数的差都是2，因此它们都是孪生素数。那么是否有无穷多对这样的数呢？这就是著名的孪生素数猜想，但这个猜想如何证明是一大难题，甚至是它的“弱形式”都不知道是否成立，但在2013年数学家张益唐运用筛法证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”（[8]），使得对孪生素数猜想的研究取得了重大突破。

与孪生素数猜想有着密切联系的是哥德巴赫猜想：“任意大于2的偶数都可以写成两个素数之和。”1742年哥德巴赫（Goldbach）写信请教欧拉（Euler）该如何证明这个猜想，遗憾的是欧拉（Euler）也没能证明出来。在20世纪之前，人们处在验证这个猜想阶段，没人能够证明它。1900年，希尔伯特（Hilbert）在国际数学家大会的报告中将这个猜想列入他的23个数学问题之中。1938年华罗庚证明了：“几乎所有的偶数都能表示成两个素数之和。”如果把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“”，1957年，王元证明了“2+3”。潘承洞在1962年证明了“1+5”。1963年，潘承洞、巴尔巴恩（BapoaH）与王元又都证明了“1+4”（[13]）。1973年陈景润用新的加权筛法证明了“1+2”（陈氏定理[3]）。

除了上述猜想以外，应用科学中也有很多有关素数的难题：在对信息进行加密