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离散数学
第10课;内容回忆;上节课练习：求以下公式的前束范式
﹁(?xF(x,y)∨?yG(x,y))
???xF(x,y)∧??yG(x,y)
??x?F(x,y)∧?y?G(x,y)
??x?F(x,t)∧?y?G(s,y)
??x(?F(x,t)∧?y?G(s,y))
??x?y(?F(x,t)∧?G(s,y))
;今日内容;一阶逻辑推理理论;一阶逻辑中新增加4条推理规那么
消去和引入规那么:
全称量词消去规那么
全称量词引入规那么
存在量词引入规那么
存在量词消去规那么;全称量词消去规那么〔简称UI规那么〕
这条规那么含以下两种形式：
?xA(x)?A(y)①
?xA(x)?A(c)②
;例：设定义域为实数，取F(x,y)为x＞y，
A(x)=?yF(x,y)，
?xA(x)??x?yF(x,y)
公式?xA(x)是真命题。
考虑如下推理是否正确:
①?x?yF(x,y) 前提引入
②?yF(y,y)①UI规那么
?yF(y,y)是假命题，推理不正确
出错的原因是违背了条件：
?xA(x)?A(y)中，y应为任意的不在A(x)中约束出现的个体变项。;全称量词引入规那么〔简称UG规那么〕
A(y)??xA(x)③
公式成立的条件是
1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真
2.取代y的x不在A(y)中约束出现。
;例:设定义域为实数，
取F(x,y)为xy，A(y)=?xF(x,y)=?x(xy)，
A对任意给定的y都是真的。
如下推理是否正确:
①?xF(x,y)前提引入
②?x?xF(x,x)①UG
?x?x(xx)是假命题，推理出错。
出错的原因是违背了条件2：取代y的x不在A(y)中约束出现
②?z?xF(x,z)①UG√
;存在量词引入规那么〔简称EG规那么〕
A(c)??xA(x)④
公式成立的条件是
1.c是特定的个体常项；
2.取代c的x不能已在A(c)中出现过。
例1:设定义域为实数，取F(x,y)为x＜y，
A(2)=?xF(x,2)=?x(x2)，〔真命题〕
如下推理是否正确:
①?xF(x,2)前提引入
②?x?xF(x,x)①EG
假命题，推理出错。出错的原因是违背了条件2,x已在A(2)中出现过。;存在量词引入规那么〔简称EG规那么〕
A(c)??xA(x)④
公式成立的条件是
1.c是特定的个体常项；
2.取代c的x不能已在A(c)中出现过。
例1:设定义域为实数，取F(x,y)为x???y，
A(2)=?xF(x,2)=?x(x2)，〔真命题〕
如下推理是否正确:
①?xF(x,2)P
②?y?xF(x,y)EG,①√
;存在量词消去规那么〔简称EI规那么〕
?xA(x)?A(c)⑤
公式成立的条件是
1.c是使A为真的特定的个体常项；
2.c不曾在A(x)中出现过；
3.A(x)中除x外没有其他自由出现的个体变项。;例:在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x是偶数，那么?xF(x)∧?xG(x)是真命题.以下推论是否正确：
(1)?xF(x)∧?xG(x)前提引入
(2)?xF(x)(1)化简规那么
(3)?xG(x)(1)化简规那么
(4)F(a)(2)ES规那么
(5)G(a)(3)ES规那么
(6)F(a)∧G(a)(4)(5)合取规那么
(7)?x(F(x)∧G(x))(6)EG规那么
;例:在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x是偶数，那么?xF(x)∧?xG(x)是真命题.以下推论是否正确：
(1)?xF(x)∧?xG(x)前提引入
(2)?xF(x)(1)化简规那么
(3)?xG(x)(1)化简规那么
(4)F(a)(2)EI规那么
(5)G(a)(3)EI规那么×
(6)
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