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高考数学复习点拨：椭圆的第二定义

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椭圆的第二定义

课本上我们学习了椭圆的定义，实际上，还有另一个反映椭圆性质的定义，我们称它为第二定义，这篇文章将会为你介绍它．

1．椭圆的第二定义的推导

点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．

解：设是点到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合，由此得．将上式两边平方，并化简得．

设，就可化成．

这是椭圆的标准方程，所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为的椭圆．

由此可知，当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．

对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据椭圆的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以椭圆有两条准线．

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．

2．第二定义的应用

例已知椭圆内有一点是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点，使的值最小，求的坐标．（如图）

高考数学复习点拨：椭圆的第二定义全文共1页，当前为第1页。分析：若设，求出，再计算最小值是很繁的．由于是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．

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解：设在右准线上的射影为．

由椭圆方程可知．

根据椭圆的第二定义，有，即．

．

显然，当三点共线时，有最小值．过作准线的垂线．

由方程组解得．即的坐标为．

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