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1EquivalenceofPDA,CFGConversionofCFGtoPDAConversionofPDAtoCFG
2OverviewWhenwetalkedaboutclosurepropertiesofregularlanguages,itwasusefultobeabletojumpbetweenREandDFArepresentations.Similarly,CFG’sandPDA’sarebothusefultodealwithpropertiesoftheCFL’s.
3Overview–(2)Also,PDA’s,being“algorithmic,”areofteneasiertousewhenarguingthatalanguageisaCFL.Example:ItiseasytoseehowaPDAcanrecognizebalancedparentheses;notsoeasyasagrammar.
4ConvertingaCFGtoaPDALetL=L(G).ConstructPDAPsuchthatN(P)=L.Phas:Onestateq.Inputsymbols=terminalsofG.Stacksymbols=allsymbolsofG.Startsymbol=startsymbolofG.
5IntuitionAboutPAteachstep,Prepresentssomeleft-sententialform(stepofaleftmostderivation).IfthestackofPis?,andPhassofarconsumedxfromitsinput,thenPrepresentsleft-sententialformx?.Atemptystack,theinputconsumedisastringinL(G).
6TransitionFunctionofPδ(q,a,a)=(q,ε).(Type1rules)ThisstepdoesnotchangetheLSFrepresented,but“moves”responsibilityforafromthestacktotheconsumedinput.IfA-?isaproductionofG,thenδ(q,ε,A)contains(q,?).(Type2rules)GuessaproductionforA,andrepresentthenextLSFinthederivation.
7ProofThatL(P)=L(G)Weneedtoshowthat(q,wx,S)?*(q,x,?)foranyxifandonlyifS=*lmw?.Part1:“onlyif”isaninductiononthenumberofstepsmadebyP.Basis:0steps.Then?=S,w=ε,andS=*lmSissurelytrue.
8InductionforPart1ConsidernmovesofP:(q,wx,S)?*(q,x,?)andassumetheIHforsequencesofn-1moves.Therearetwocases,dependingonwhetherthelastmoveusesaType1orType2rule.
9UseofaType1RuleThemovesequencemustbeoftheform(q,yax,S)?*(q,ax,a?)?(q,x,?),whereya=w.BytheIHappliedtothefirstn-1steps,S=*lmya?.Butya=w,soS=*lmw?.
10UseofaType2RuleThemovesequencemustbeoftheform(q,w
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