2024年人教版九年级上册数学第21章一元二次方程第2节第1课时 直接开平方法.pptx

人教版九年级上册

21.2解一元二次方程21.2.1配方法

第1课时直接开平方法

1.通过阅读课本会用直接开平方法解二次项系数为1的一元二次方程，发

展学生的运算能力；

2.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中

数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；

3.通过直接开平方法的探究活动，培养学生积极思考、勇于探索的学习习

惯.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.

学习目标

旧知回顾

什么叫开平方?什么是平方根?

(一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a

的平方根求一个数a的平方根的运算，叫做开平方)

当这名运动员距离篮筐1m投篮时，篮球运动的最大高度恰好通

过木板，且篮球距离水平地面的高度h(m)与篮球离木板的

水平距离x(m)满足h=-x²+4,已知篮圈中心距离地面的高度

为3m,那么篮球能否投中呢?

新课导入

问题引入

同学们从小学开始我们就学习了解方程，大家回忆一下都学会

哪些解方程，是如何解的?

选自《BBC数学的故事2》

自主探究

1.请同学们阅读课本5-6页探究.

2.观察下列方程，回答问题.

x²=0;x²+1=0;2x²-8=0;(x+2)²=5.

(1)你能求出一元二次方程x²+1=0的解吗?若能，请写出求解过程，若不

能，请说明理由

(不能，理由：因为一个数的平方不能是负的)

(2)观察上面可以求解的一元二次方程的二次项系数与常数项的符号有何

共同规律?

(当常数项不为0时，二次项系数与常数项的符号互为异号；当常数项为0

时，方程的解为xz=xz=0)

方程9x²=16都可以怎样求解?哪种方法最简便?

(解法1:‘))

解法2:9x²=16,(3x)²=16,3x=±4,

*解法3:9x²=16,9x²-16=0,(3x+4)(3x-4)=0,当3x+4=

0时，,当3x-4=0时，.解法1最简便)

对比9x²=16的求解过程，一元二次方程(a-8)²=25该如何求解?

试解出此方程.

((a-8)²=25,a-8=±5,a₁=13,a₂=3)

)

■

越展越优秀

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知识点用直接开平方法解一元二次方程(重点)

能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程x²=a,可直接开平方求解.

若a0,则x=±√a,表示为x₁=√a,x₂=-√a,方程有两个不相等的实数根；若a=0,则x=0,表示为x₁=x₂=0,方程有两个相等的实数根；

若a0,方程无实数根.

②形如关于x的一元二次方程(ax+n)²=m(a≠0,m≥0),可直接开平方求解，

两根是：,

注：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开

平方求这个方程的根.

典型精讲

【题型一】用直接开平方法解方程，方程有解的条件

例1若方程(x-1)²=m+1有解，则m的取值范围是

m≥-1.

变式方程y²=-a有实数根的条件是a≤0.

【题型二】用直接开平方法解方程

例2已知一元二次方程(x-2)²=3的两根分别为a,b,

且ab,则2a+b=V3+6.

点拨：解方程(x-2)²=3,得x₁=√3+2,x₂=-√3+2.∵ab,∴a=√3+2,b=-√3+2,

∴2a+b=√3+6.

例3:用直接开平方法解方程：

(1)2y²-12=0;(2)(x-1)²-4=0;

(3)x²-2x+1=5;(4)4(x+3)²=25(x-2)².

解：(1)移项，得2y²=12,整理，得y²=6,即y₁=√6,yz=-√6.

(2)移项，得(x-1)²=4,开平方，得x-1=±2,即x₁=3,x₂=-1.

(3)整理，得(x-1)²=5,开平方，得x-1=±√5,即x₁=√5+1,x₂=

-√5+1.

(4)整理，得2(x+3)=±5(x-2),即