2025版高考数学一轮总复习课时作业第一章集合与常用逻辑用语不等式1.4基本不等式.docVIP

1.4基本不等式

【巩固强化】

1.下列命题中正确的是（B）

A.当x1时，

B.当x0时，x

C.当0x

D.当x1时，x

解：对于A，x+1x≥2x?1x=2,当且仅当x=1时等号成立

对于B，当x0时，-x0，x+1x=-[-x

对于D，显然存在x=4，使得x+1x=52

2.[2020年上海卷]下列不等式恒成立的是（B）

A.a2+b2≤2ab B.a

解：a2+b2≥2ab，故A不正确.a2+b2≥-2ab?a+b2≥0，故B正确.当a=0,b=-1时

3.已知x1，y=x+

A.1 B.2 C.3 D.4

解：因为x1，所以

所以y=x+1x-1=x-

4.“1a1b0”是

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解：由1a1b0，知ba0.由ba+ab2，得ba+ab-

5.若x3，则x2

A.2 B.2 C.42 D.

解：因为x3，所以x-30.x2-6x+11x-

6.若正实数x，y满足x+3y=1，则

A.12 B.25 C.27 D.36

解：12x+1y=12x+1y?1=12

7.已知正实数x，y满足2x+y=xy，则

A.2 B.5 C.6 D.8

解：（方法一）xy=2x+y≥22xy,解得xy≥8,当且仅当2x=y，即x

（方法二）由2x+y=xy，得1x+2y=1.则xy=2x+y

8.【多选题】若a0，b0，a+b=

A.ab≤1 B.a+b≥2

解：对于A,因为a0，b0，a+b=2，所以a+b=2

对于B,a+b2=a+b+2

对于C,a2+b2=a

对于D,1a+1b=121

【综合运用】

9.[2021年全国乙卷]下列函数最小值为4的是（C）

A.y=x2

C.y=2x

解：y=x2+

y=2x+22-x≥22x+2

B不满足“三相等”，D不满足“一正”，均错误.故选C.

10.已知{an}是各项均为正数的等差数列，且a6+

A.10 B.20 C.25 D.50

解：因为a6+2a7+a10=a6+a10+2a7=2a

11.[2020年新课标Ⅰ卷]【多选题】已知a0,b0，且

A.a2+b

C.log2a+

解：a2+b2≥a+b22=12，A正确.由题意，知0a1，则1a+1

12.如图，校庆当天，学校需要用围栏围起一个面积为225m2的矩形（小矩形）场地用来展示校友的书画作品，场地四周都留有宽为

解：设小矩形的长为xm，宽为ym，整个书画展区域的面积为

由xy=225，得

当且仅当4x=4y，即x=

故整个书画展区域面积的最小值是361m

【拓广探索】

13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b=1,a=2c，则当C

A.33 B.36 C.23

解：在△ABC中，由余弦定理,得cosC=a2+b2-c2

因为C∈0,π,

所以当C取最大值π6时，△ABC的面积S=