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2022-2023学年湖南省长沙市周南中学高一(下)期末数学试卷
一.单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知集合M={x∈Z|x2﹣3x﹣4≤0},N={x|0<x≤3},则M∩N=()
A.{﹣1,0,1,2,3} B.{1,2,3}
C.(0,3] D.[﹣1,4]
2.已知复数z满足z(1﹣i)=1+i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数的虚部是()
A.1 B.i C.﹣1 D.﹣i
3.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是()
A.若l⊥α,l∥m,则m⊥α B.若l⊥m,m?α,则l⊥α
C.若l∥α,m?α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m
4.已知cos2α=23,则
A.13 B.23 C.23
5.著名数学家华罗庚先生曾经说过,“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”,如函数f(x)=xln|x|
A. B.
C. D.
6.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()
A.πa2 B.73πa2 C.113πa
7.已知f(x)=log12(x2
A.(﹣∞,4] B.(﹣4,4] C.(0,2) D.(0,4]
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1﹣x)=f(1+x),且在[1,+∞)上单调递增,若a=f(223),b=f(log3
A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是()
A.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等
B.若A、B为互斥事件,则A的对立事件与B的对立事件一定互斥
C.设样本数据x1,x2,x3,…,x9,x10的平均数和方差分别为2和8,若yi=2xi+1(i=1,2,3,…,9,10),则y1,y2,y3,…,y9,y10的平均数和方差分别为5和32
D.高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛,高一年级有450人,高二年级有350人,通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本,得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分,则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分
10.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
A.f(x)的最小正周期为π
B.x=5π6是函数y=f(x
C.将函数y=f(x)的图像向右平移π3个单位后,得到的函数为奇函数
D.若函数y=f(tx)(t>0)在[0,π]上有且仅有两个零点,则t
11.在△ABC中,D,E,F分别是边BC,AC,AB中点,下列说法正确的是()
A.AB→
B.DA→
C.若AB→|AB→|+AC→
D.若点P是线段AD上的动点,且BP→=λBA→
12.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,F在侧面CDD1C1上运动,且满足B1F∥平面A1BE.则下列命题中正确的有()
A.侧面CDD1C1上存在点F,使得B1F⊥CD
B.直线B1F与直线CD1所成角可能为60°
C.三棱锥A1﹣BEF的体积为定值
D.设正方体棱长为1,则过点E,F,A的平面截正方体所得的截面面积最大值为5
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.一水平放置的平面图形OABC,用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示,此直观图恰好是一个边长为1的正方形,则原平面图形OABC的面积为.
14.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC=.
15.如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上,且满足AP→=mAB→+nAD→(m,n
16.已知函数f(x)=-x2-2x+3,x≤0|2-lnx|,x>0,直线y=k与函数f(x)的图象相交于四个不同的点,交点的横坐标依次记为a,b
四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设函数f(x)=(sinx+cosx
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈(π4,
18.(12分)如图,直二面角D﹣AB﹣E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求二面角B﹣AC﹣E的正弦值;
(3)求点D到平面ACE的距离.
19.
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