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二项式定理练习题及答案解析

一、选择题

1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )A．2n B．2n＋1

C．2n－1 D．2(n＋1)[答案] B

2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是( )A．Crn B．Cr＋1n

C．Cr－1n D．(－1)r－1Cr－1n[答案] D

3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是( )A．－27C610 B．27C410

C．－9C610 D．9C410

[答案] D

[解析] ∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.

4．(2010?全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是( )A．－4 B．－2

C．2 D．4[答案] C

[解析] (1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，

故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12xC05＝

－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.

5．在2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值

是(

)

A．3

B．5

C．8

D．10

[答案]

B

[解析] Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－r?Crnx3n－5r.

令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.

∴n的最小值为5.

6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( )A．－297 B．－252

C．297 D．207[答案] D

[解析] x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．

∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.

7．(2009?北京)在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( )

A．3 B．4

C．5 D．6[答案] D

[解析] 通项Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.

8．(2010?陕西理，4)(x＋ax)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数

a等于(

A．－1

)

B.12

C．1

D．2

[答案]

D

[解析]Cr5?xr(ax)5－r＝Cr5?a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，由C45?a＝10，得a＝2.

若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是( )

A.112＜x＜15B.16＜x＜15C.112＜x＜23D.16＜x＜25[答案]A

[解析]由T2T1T2T3得C162x1C162xC26(2x)2∴112＜x＜15.

在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有( )

A．4项 B．5项

C．6项 D．7项[答案] A

[解析] Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r?(32)20－rCr20?x20－r，

∵系数为有理数，

∴(2)r与220－r3均为有理数，

∴r能被2整除，且20－r能被3整除，故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.

∴r＝2,8,14,20.

二、填空题

11．(1＋x＋x2)?(1－x)10的展开式中，x5的系数为 ．[答案] －162

12．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为 ．

[答案] 5

[解析] 解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3?(1－x2)2＝(1－x)3(1

＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)?C13(－1)＝5；解法二：C35(－1)3＋C12?C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5.

13．若x2＋1ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝ (用数字作答)．

[答案] 2

[解析] C36(x2)3?1ax3＝20a3x3＝52x3，∴a＝2.14．(2010?辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6 的展开式中的常数项为

．

[答案] －5

[解析] (1＋x＋x2)x－1x6

＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6，

∴要找出x－1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数，Tr＋1＝

Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，

令6－2r＝－1，无解．

令6－2r＝－2，∴r＝4.

∴常数项为－C36＋C46＝－5.三、解答题

求二项式(a＋2b)4的展开式．[解析]