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中考数学压轴题解题策略
面积的存在性问题解题策略
2015年9月24日星期四
专题攻略
面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:
第一类,先根据几何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根.
第二类,先假设关系存在,再列方程,后根据方程的解验证假设是否正确.
例题解析
例?如图
例?如图1-1,矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线
y=x2-6x+10滑动,在滑动过程中CD//x轴,CD=1,AB在CD的下方.当点D在y轴上时,AB落在x轴上.当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时,求点C的坐标.
【解析】先求出CB=5,再进行两次转化,然后解方程.
把上下两部分的面积比为1∶4转化为S ∶S =1∶5或S ∶S =4∶5.
上 全 上 全
如图1-2,C(3,1).如图1-3,
如图1-2,C(3,1).如图1-3,C(3
3,4)或(3- 3,4).
图1-2 图1-3
PMB △BCM例?如图2-1,二次函数y=(x+m)2+k的图象与x轴交于A、B两点,顶点M的坐标为(1,-4),AM与y轴相交于点C,在抛物线上是否还存在点P,使得S△=S,如存在,求出点
PMB △BCM
图2-1
【解析】△BCM是确定的,△PBM与三角形BCM有公共边BM,根据“同底等高的三角形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”,过点C画BM的平行线与抛物线的交点就是点P.一目了然,点P有2个.
由y=(x-1)2-4=(x+1)(x-3),得A(-1,0),B(3,0).由A、M,得C(0,-2).
如图2-2,设P(x,x2-2x-3),由PC//BM,得∠CPE=∠BMF.所以CE?BF.
PE MF
解方程(x?1)2?4?2?4,得x?2? 5.所以P(2? 5,2?25)或(2? 5,2?2 5).
x 2
图2-2
例 如图3-1,直线y=x+1与抛物线y=-x2+2x+3交于A、B两点,点P是直线AB上方抛物线上的一点,四边形PAQB是平行四边形,当四边形PAQB的面积最大时,求点P的坐标.
图3-1
【解析】△PAB的面积最大时,平行四边形PAQB的面积也最大.
我们介绍三种割补的方法求△PAB的面积:如图3-2,把△PAB分割为两个共底PE的三角形,高的和等于A、B两点间的水平距离;如图3-3,用四边形PACB的面积减去△ABC的面积;如图3-4,用直角梯形ABNM的面积减去两个直角三角形的面积.
我们借用图3-2介绍一个典型结论.已知A(-1,0)、B(2,3),设P(x,-x2+2x+3).
S△ =S +S
=1PE(AF?BD)=1(y
y)(x
x)
PAB
△PAE
△PBE
2 2 P
E B A
=1(?x2?x?2)?3=?3(x?1)2?27.
2 2 2 8
当x?1时,△PAB的面积最大.x?1的几何意义是点E为AB的中点,这是一个典型
2 2
结论.同时我们可以看到,由于xB-xA是定值,因此当PE最大时,△PAB的面积最大.
图3-2 图3-3 图3-4
例?如图4-1,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=5,AC⊥AB,△ACD沿AC方向匀速平移得到△PNM,速度为每秒1个单位长度;同时点Q从点C出发,沿CB方向匀速移动,速度为每秒1个单位长度;当△PNM停止运动时,点Q也停止运动,如图4-2,
设移动时间为t秒(0<t<4).是否存在某一时刻t,使S△QMC∶S四边形
求出t的值;若不存在,请说明理由.
=1∶4?若存在,
ABQP
图4-1 图4-2
【解析】两步转化,问题就解决了.△QMC与△QPC是同底等高的三角形,△QPC是
△ABC的一部分.
因此S△QMC∶S四边形
=1∶4就转化为S
∶S =1∶5,更进一步转化为S
ABQP
6 1 3
△QPC
6
△ABC
△QPC
= .如图4-3,解方程 ? (4?t)?t?
,得t=2.
5 2 5 5
图4-3
例?如图5-1,在平面直角坐
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