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高中常见数学模型案例
高中常见数学模型案例
中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出:“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”,“数学建模是数学学习的一种新的方式,它为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种:
一、函数模型
用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用,两个变量或几个变量,凡能找到它们之间的联系,并用数学形式表示出来,建立起一个函数关系(数学模型),然后运用函数的有关知识去解决实际问题,这些都属于函数模型的范畴。
1、正比例、反比例函数问题
例1:某商人购货,进价已按原价a扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营者中货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是___________。
分析:欲求货物数x与按新价让利总额y之间的函数关系式,关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。
若设新价为b,则售价为b(1-20%),因为原价为a,所以进价为a(1-25%)
解:依题意,有化简得,所以,即
2、一次函数问题
例2:某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地,在B地停留1h后,再以50km/h的速度返回A地,把汽车离开A地的路x(km)表示为时间t(h)的函数,并画出函数的图像。
分析:根据路程=速度×时间,可得出路程x和时间t得函数关系式x(t);同样,可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量,从B地返回时速度为负值,重点应注意如何画这两个函数的图像,要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。
解:汽车离开A地的距离xkm与时间th之间的关系式是:,图略。
速度vkm/h与时间th的函数关系式是:,图略。
3、二次函数问题
高中常见数学模型案例全文共1页,当前为第1页。例3:有L米长的钢材,要做成如图所示的窗架,上半部分为半圆,下半部分为六个全等小矩形组成的矩形,试问小矩形的长、宽比为多少时,窗所通过的光线最多,并具体标出窗框面积的最大值。
高中常见数学模型案例全文共1页,当前为第1页。
解:设小矩形长为x,宽为y,则由图形条件可得:
∴
要使窗所通过的光线最多,即要窗框面积最大,则:
∴当时,
即:此时窗框面积S有最大值。
可见,一般的设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,也就是建立数学模型。
二、数列模型
数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。在高一年级教材中就有这类数学问题,下面以一个例题来分析银行中的数学建模问题。
例4:某银行设立了教育助学贷款,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息,如果贷款10000元,两年还清,月利率为0.4575%,那么每月应还多少钱呢?
分析与假设:按照规定,偿还贷款既要偿还本金,还要支付利息。在上述问题中,到贷款两年(即24个月)付清时,10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢?引导学生通过填表来回答:
?
10000元贷款的本金(元)与它的利息之和
1个月后
2个月后
?
3个月后
?
…
…
23个月后
?
24个月后
?
通过对例子的分析,与学生交流使学生认识到:到期偿还贷款的含义即各月所付款连同到贷款付清时所生利息之和,等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和,计算每月应付款额。
高中常见数学模型案例全文共2页,当前为第2页。可以发现,上述等式是一个关于x的一次方程,且等号左边括号内是一个首项为1,公比为1.004575的等比数列的前24项的和,于是:
高中常见数学模型案例全文共2页,当前为第2页。
即
解之得
提出问题:如果采用上述分期付款方式贷款a元,m个月将款全部付清,月利率为r,那么每月付款款额的计算公式是什么?
显然问题转化为建立关于x的方程。设采用分期付款方式贷a元,m个月将款全部付清,月利率为r,每月付款x元,那么:
把右边求和,得,
所以:万元。
三、初等概率模型
古典概率不仅要求基本实践的出现具有等可能性,而且要求样本空间为有限集,但实际问题中却经常会碰到无限样本空间的情形,对于无限样本空间的情形,常可转化为几何概率来解决。
例5:将n个球随机地放入n个盒子中去,求
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