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第十章概率
10.2事件的相互独立性
学习目标
素养要求
1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性
的含义
数学抽象
2.结合古典概型,利用独立性计算概率
数学运算、数学建模
自学导引
中
知识点1相互独立事件的定义和性质
1.定义:对于任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)
称事件A与事件B相互独立.
2.性质:①如果A与B相互独立,那么A与B,A与B,A
都相互独立.
,那么
与B也
区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(
或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
表示
相互独立事件A,B同时发生
记作:ABnm
互斥事件A,B中有一个发
生,记作:AUB(或A+B)
计算公式
P(AB)=P(A)P(B)
P(AUB)=P(A)+P(B)
【预习自测】
微思考
互斥事件与相互独立事件的区别是什么?
【提示】
知识点2独立事件的概率公式
(1)若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B).
(2)若事件A₁,A₂,…,A,相互独立,则P(A₁A₂…A,)=P(A₁)·P(A₂)
P(A,)·
【预习自测】
在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯
的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条道路上匀速行驶,则三
处都不停车的概率为
【答案】
.
【解析】设A₁,A₂,A₃分别表示在A,B,C三处不停车,由题意可
知,A₁,A₂,A₃相互独立,且P(A₁),P(A₂),P(A₃)分别为在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为
课堂互动
中
题型1相互独立事件的判断
〇例1一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能
的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.
解:(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为Ω={(男,男),
(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性知概率都为这时A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),(女,
●
男)},AB={(男,女),(女,男)},于是
此可知P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B
,9
不相互独立.
由
●
概率均为
含有3个基本事件.于是
成立.从而事件A与B是相互独立的.
(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={(男,
显然有
,
,
9
规律方法
判断两个事件是否相互独立的两种方法
(1)根据问题的实质,从影响上看一事件的发生是否影响另一事件发
生的概率来判断,若没有影响,则两个事件就是相互独立事件;
(2)定义法:通过式子P(AB)=P(A)P(B)来判断两个事件是否独立,
若上式成立,则事件A,B相互独立,这是定量判断.
跟踪训练
1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,
事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则A,B,C中
具有相互独立性的有.
【答案】①A,B;②A,C;③B,C
【解析】根据事件相互独立的定义判断,只要P(AB)=P(A)P(B),
P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式
计算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=
0.25,P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)·P(B),P(AC)=P(A)P(C),
P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独
立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.
题型2相互独立事件概率的计算
〇例2甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率
分别为÷和求:
(1)两个人都译出密码的概率;
(2)求至少1个人译出密码的概率;
(3)恰有1个人译出密码的概率.
解:记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事
件B,A,B为相互独立事件,且P(B)=4
(1)两个人都译出密码的概率为.
(2)“至少有1个人译出密码”的对
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