2024年中考数学几何辅助线专题复习讲义：专题十一 遇到圆怎么作辅助线.docxVIP

专题十一遇到圆怎么作辅助线

11.1垂径定理

知识储备

1.垂径定理的相关知识

(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.数学语言表述如下：

①CD是直径,②CD⊥AB③AM=BM,④

(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.数学语言表述如下：

(3)垂径定理及相关命题如下表所示：

条件

结论

命题

①②

③④⑤

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

①③

②④⑤

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

①④

②③⑤

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

①⑤

②③④

②③

①④⑤

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧

②④

①③⑤

垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和它所对的另一条弧

②⑤

①③④

③④

①②⑤

平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧

③⑤

①②④

④⑤

①②③

平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦

2.垂径定理的应用思路

超级模型

基本图形

说明

类型一

已知AB是圆O的直径,CD为弦,AB⊥CD于点E,常用辅助线为连接半径OC，则△OEC为直角三角形，利用勾股定理求解边长

类型二

如图，点B为弧AC的中点，常用辅助线为连接AC,OB,可得OB垂直平分AC

类型三

如图，点B为AC的中点，常用辅助线为连接OB，可得OB垂直平分AC

例题详析

例：点P是圆外一点，点M，N分别是弧AB,CD的中点，求证：△PEF

【解析】连接OM,ON,分别交AB,CD于点G,H.

∵M,N分别为弧AB,

∴OM⊥AB,ON⊥CD,即∠MGE=∠NHF=90°.

又∵OM=ON,∴∠M=∠N,∴∠MEG=∠NFH.

∵∠MEG=∠PEF,∠NFH=∠PFE,

∴∠PEF=∠PFE,∴PE=PF,

∴△PEF为等腰三角形.

跟踪训练

对|点|巩|固

1.半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则折痕CD的长为cm.

2.如图所示，已知AB是⊙O的弦，C是AB的中点，AB=8,AC=25,求⊙O

3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10,BC=12,求⊙O的半径.

中|考|实|战

4.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,,则点P的坐标为

5.如图,在△ABC中，已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,,以点C为圆心,CB长为半径的圆交AB于点D,则BD的长为.

6.如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作(CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过点C作CG‖AE,，交BA的延长线于点G.

(1)求证:CG是⊙O的切线.

(2)求证:AF=CF.

(3)若∠EAB=30°,CF=2,求GA的长.

11.2无切点,证切线

知识储备

1.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系来判别.

2.切线的判定

(1)定义：直线和圆只有一个公共点，这时说这条直线和圆相切.

(2)当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线和圆相切.

基本图形

已知条件

已知直线AB和圆O

辅助线作法

过点O作OC垂直AB,交AB于点C

可用结论

当OC的长等于圆O的半径时，AB是圆O的切线

理论依据

当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线和圆相切

例题详析

例:如图,在△ABC中,∠C=90°,点O,D分别为AB,BC的中点，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF=DO.

(1)求证:DF是⊙O的切线.

(2)若sinB=32,CF=2,求

思|维|路|径

【解析】(1)作OG⊥DF于点G,连接OE.

∵点O,D分别为AB,BC的中点,

∴BD=DC,BO=OA,OD∥AC,∴∠ODG=∠DFC.

∵∠OGD=∠DCF=90°,OD=DF,

∴△OGD≌△DCF(AAS),∴OG=CD.

∵AC是⊙O的切线,∴OE⊥AC,∴∠AEO=∠C=90°,∴OE∥BC.

又∵OD∥CE,∴四边形CDOE是矩形,

∴CD=OE,∴OG=OE,∴DF是⊙O的切线.

(2)设OE=x,则BD=DC=OE=x.