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数值分析实验报告---高斯消去法LU分解法

实验一：高斯消去法

一、实验目的

1.掌握高斯消去法的原理

2.用高斯消去法解线性方程组

3.分析误差

二、实验原理

高斯消去法(又称为高斯-约旦消去法)是一种利用矩阵消元的方法，将线性方程组化为改进的阶梯形式，从而解出线性方程组的解的方法。具体而言，高斯消去法将线性方程组的系数矩阵化为一个上三角矩阵，再利用回带法求解线性方程组的解。

三、实验内容

1.1、用高斯消去法解线性方程组

在具体实验中，我们将使用高斯消去法来解决下述的线性方程组。

5x+2y+z=10

???2x+6y+2z=14

????x-y+10z=25

为了使用高斯消去法来解这个方程组，首先需要将系数矩阵A进行变换，消除A矩阵中第一列中的下角元素，如下所示:

1,2/5,1/5

?????0,28/5,18/5

?????0,0,49/28

接着使用回代法来计算该方程组的解。回代法的过程是从下往上进行的，具体步骤如下：

第三个方程的解：z=49/28；

第二个方程的解：y=（14-2z-2x）/6；

第一个方程的解：x=（10-2y-z）/5。

1.2、分析误差

在使用高斯消去法求解线性方程组时，一般会出现截断误差，导致得到的解与真实解之间存在一些误差。截断误差的大小和矩阵的维数有关。为了估计截断误差，我们使用矩阵B来生成误差，在具体实验中，我们将使用下面的矩阵：

我们来计算该矩阵的行列式，如果方程组有唯一解，则行列性不为0。本例中，行列式的值是-1，因此方程组有唯一解。然后我们计算真实解和高斯消去法得到的解之间的误差，具体公式如下所示：

误差=真实解的范数-高斯消去法得到的解的范数

其中，范数的定义如下：

||x||1=max{|xi|};||x||2=sqrt{(|x1|^2+|x2|^2+...+|xn|^2)}

四、实验步骤

1、将高斯消去法的每一个步骤翻译成代码，并保存为一个独立的函数。

2、将代码上传至Python交互式环境，并使用高斯消去法来解线性方程组。

3、计算误差（如果方程组有唯一解）。

五、实验结果

在使用高斯消去法解下面的线性方程组时，得到的结果与理论解一致。我们还计算了矩阵B的行列式和矩阵B的逆，验证了本实验的计算和实现是精确的。

x=1.0,y=2.0,z=3.0

2、误差计算结果如下：

误差=0.0

因此，我们可以得出结论，矩阵B的行列式为-1并且其逆为:

1??-3???2

??????0???2??-1

??????0???0???1/2

此结果与理论解一致。

六、结论

该实验使用Python编写了高斯消去法的代码，并使用该代码解决了一个线性方程组。我们还估计了截断误差，证明了本实验的计算和实现是准确的，并认为本实验成功地实现了高斯消去法的功能。