惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式.docx

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质

一.重点及难点：

(一).截面静矩和形心

静矩的定义式

xdAx×Cy0Ayx如图

x

dA

x

×Cy

0

A

y

x

dS ?xdA

y

dSx?ydA

整个图形对y、z轴的静矩分别为

S ??xdA

Ay

A

?

〔I-1〕

Sx? ydA

A

形心与静矩关系 图I-1

设平面图形形心C的坐标为y,z 则 0

C C

y?Sx ，x?Sy

〔I-2〕

A A

推论1假设y轴通过形心〔即x?0〕，则静矩S ?0；同理，假设x轴

y

通过形心〔即y?0〕，则静矩Sx?0；反之也成立。

推论2假设x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；假设y轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。

组合图形的静矩和形心

设截面图形由几个面积分别为A,A,A

1 2 3

??A

n

的简洁图形组成，且始终

各族图形的形心坐标分别为x

1

,y；x

1 2

,y；x,y

2 3 3

??，则图形对y轴和x轴

的静矩分别为

S ??nS

y yi

i?1

??n Ax

i i

i?1

〔I-3〕

S ??n

x

S ??n Ay

xi i i

i?1 i?1

截面图形的形心坐标为

?n Ax

??i i

?

?

x i?1

n

A

i

， y?

?n Ay

i i

?i?1

?

n

A

i

〔I-4〕

i?1

静矩的特征

i?1

界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

静矩有的单位为m3。

静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，假设图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

假设图形的形心坐标。则可由式〔I-1〕求图形对坐标轴的静矩。假设图形对坐标轴的静矩，则可由式〔I-2〕求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式〔I-3〕求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式〔I-4〕求出其形心坐标。

〔二〕.惯性矩惯性积惯性半径

惯性矩

定义设任意外形的截面图形的面积为A〔图I-3〕，则图形对O点的极惯性矩定义为

I ???2dA 〔I-5〕

p A

图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为

I ??x2dA ， I

y A x

??y2dA 〔I-6〕

A

惯性矩的特征

界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。

极惯性矩和轴惯性矩的单位为m4。

极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。

图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即

I ???2dA??(x2?y2)dA?I ?I

p A A y x

〔I-7〕

组合图形〔图I-2〕对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即

I ??nI

? ?i

，I ??n I

y yi

，Ix??n I

xi

〔I-8〕

i?1 i?1 i?1

x1

x

1

C

1

A

1

x

2

C

2

x C

n n

A2

A

n

y

1

0

y

y

x

n 2

y

x

x

dA

y

0

x

图I-2 图I-3

惯性积

定义 设任意外形的截面图形的面积为A〔图I-3〕，则图形对y轴和

x轴的惯性积定义为

I ??xydA 〔I-9〕

xy A

惯性积的特征

界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。

惯性积的单位为m4。

惯性积的数值可正可负，也可能等于零。假设一对坐标周中有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不愿定有图形的对称轴。

组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一坐标轴的惯性积之和，即

I ??n

xy

i?1

I

xyi

〔I-10〕

惯性半径

IxA定义：任意外形的截面图形的面积为A〔图I-3〕,则图形对y轴和x

I

x

A

IyAi ? ，

I

y

A

y x

〔I-11〕

惯性半径的特征

惯性半径是对某一坐标轴定义的。

惯性半径的单位为m。

惯性半径的数值恒取证之。

〔三〕.惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式

I ?I

x xC

I ?I

y yC

a2A

b2A

〔I-12〕

I ?I

xy

xCyC

?abA 〔I-13〕

平行移轴公式的特征

意外形界面光图形的面积为A〔图〔I-4〕；