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勾股定理学问点梳理

直角三角型有哪些特别的性质;①角，直角三角型的两锐角互余；②边，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：在Rt△ABC中，a2?b2?c2；③面积，两种

计算面积的方法。

如何判定一个三角形是直角三角形呢？

①有一个内角为直角的三角形是直角三角形；②两个内角互余的三角形是直角三角形；③假设三角形的三边长为a、b、c满足a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形

勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系

区分：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4．互逆命题的概念

假设一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。假设把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2?b2?c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17；

9,40,41等

HEF

H

E

F

b

G

a

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 C

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会转变

②依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：

方法一：4S

?

方法二：

S

正方形EFGH

?S

正方形ABCD

，4? ab?(b?a)2?c2，化简可证．

12

1

Bb a

cc

c

c

c

c

b

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S?4? ab?c2?2ab?c2

1

2

大正方形面积为S?(a?b)2?a2?2ab?b2

所以a2?b2?c2

b

a

ccaA a b

c

c

b

1 1 1 E

方法三：S

梯形

? (a?b)?(a?b)，S

2 梯形

?2S

?ADE

S

?ABE

?2? ab? c2，化简得证

2 2

a

b C

一．典型例题

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)a=6，c=10，求b，(2)a=40，b=9，求c；(3)c=25，b=15，求a.

思路点拨:写解的过程中，确定要先写上在哪个直角三角形中，留意勾股定理的变形使用。

举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图，：在 中， ， ， .求：BC的长.

思路点拨：由条件则有

，

出BC的长.

，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于D，

，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求

举一反三【变式1】如图，：

求证： .

， ， 于

【变式2】：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用

〔一〕用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如以下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点动身，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

求A、C两点之间的距离。

确定目的地C在营地A的什么方向。举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门外形如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如以下图，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．

〔二〕用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进展电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现打算在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线局部．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进展比较，得出结论．

举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A动身，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

解：

如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面