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椭圆的定义及性质

一．椭圆的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（不小于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.

这两个定点F1、F2叫椭圆的焦点.

两焦点的距离∣F1F2∣叫椭圆的焦距（2c）.

1.动画演示

2.椭圆定义的符号表述：

注意：

1.当2a2c时,轨迹是椭圆

2.当2a=2c时,轨迹是一条线段,是以

F1、F2为端点的线段．

3.当2a2c时,无轨迹,图形不存在.

4.当c=0时,轨迹为圆．

二.椭圆的原则方程

(1)焦点在x轴

(2)焦点在y轴

看分母大小

三.椭圆的几何性质

让我们一起研究原则方程为:原则方程为:的椭圆的性质

的椭圆的性质

首先，我们有：2a2c,a2=b2+c2,

a0,b0,c0

2a2c,a2=b2+c2,a0,b0,c0

2a2c,a2=b2+c2,a0,b0,c0

F2

F1

x

y

椭圆有关x轴、y轴、原点对称.

O

B1

A1

A2

y

可得x=a

从而：A1(-a,0),A2(a,0)

同理：B1(0,-b),B2(0,b)

A1

O

B2

B1

A2

x

y

O

B2

B1

A1

A2

x

y

线段A1A2叫椭圆的长轴:

线段B1B2叫椭圆的短轴:

长为2a

长为2b

F2

F1

O

B2

B1

A1

A2

x

y

横坐标的范围：

纵坐标的范围：

-axa

-byb

从而：-axa

我们把两焦点F1、F2的距离叫椭圆的焦距

因此∣OF1∣=∣OF2∣=c

因此焦点F1(-c,0)、F2(c,0)

∣F1F2∣=2c

O

x

y

把椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，用e表达，即

O

x

y

因此e∈(0，1)

e越靠近于0，椭圆越圆；e越靠近于1，椭圆越扁.

条件

2a2c,a2=b2+c2,a0,b0,c0

标准方程

图形

对称性

曲线关于x轴、

y轴、原点对称

顶点

长轴顶点(±a,0)

短轴顶点(0,±b)

范围

焦点

焦距

离心率

椭圆的原则方程及其简朴几何性质

(-c,0)和(c,0)

(0,-c)和(0,c)

曲线有关x轴、

y轴、原点对称

长轴顶点(0,±a)

短轴顶点(±b,0)

解析:

B

基础自测

由椭圆方程得a=3,

由椭圆定义知

因此P到另一种焦点的距离

为6-2=4.

D

B

D

=1.

=1.

=1

条件

2a2c,a2=b2+c2,a0,b0,c0

标准方程

图形

范围

对称性

曲线关于x轴、

y轴、原点对称

顶点

长轴顶点(±a,0)

短轴顶点(0,±b)

焦点

焦距

离心率

小结：椭圆的原则方程及其简朴几何性质

(-c,0)和(c,0)

(0,-c)和(0,c)

曲线有关x轴、

y轴、原点对称

长轴顶点(0,±a)

短轴顶点(±b,0)