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重难点13几何最值问题2种题型
(将军饮马与蚂蚁爬行,16种模型)
目录
TOC\o1-3\n\h\z\u
题型01将军饮马
题型02蚂蚁爬行
题型01将军饮马
模型的概述:唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题:将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边让战马饮水后再到B点宿营.问如何行走才能使总的路程最短.
模型一-模型四的理论依据:两点之间线段最短.
模型一(两点在河的异侧):将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边让战马饮水后再到B点宿营,将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.
方法:如右图,连接AB,与线段L交于点M,在M处渡河距离最短,最短距离为线段AB的长.
【将军饮马之模型一专项训练】
1.(2021·海南海口·统考一模)如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A、B为圆心,以适当的长为半径作弧,两弧分别交于E,F,作直线EF,D为BC的中点,M为直线EF上任意一点.若BC=4,△ABC面积为10,则BM+MD长度的最小值为()
A.52
【答案】D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB,则MB=MA,所以BM+MD=MA+MD,连接MA、DA,如图,利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD,再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC,然后利用三角形面积公式计算出AD即可.
【详解】解:由作法得EF垂直平分AB,
∴MB=MA,
∴BM+MD=MA+MD,
连接MA、DA,如图,
∵MA+MD≥AD(当且仅当M点在AD上时取等号),
∴MA+MD的最小值为AD,
∵AB=AC,D点为BC的中点,
∴AD⊥BC,
∵S
∴AD=
∴BM+MD长度的最小值为5.
故选:D.
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,利用轴对称求线段和的最小值,三角形的面积,两点之间,线段最短,掌握以上知识是解题的关键.
2.(2023·山东枣庄·校考模拟预测)如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为(????)
A.43 B.23 C.6
【答案】B
【分析】连接BD,PB,根据点B与D关于AC对称,得出PD=PB,从而得出PD+PE=PB+PE≥BE,即PD+PE最小值为值为BE的长,求出BE的长即可.
【详解】解:连接BD,PB,如图所示:
∵四边形ABCD为正方形,
∴点B与D关于AC对称,
∴PD=PB,
∴PD+PE=PB+PE≥BE,
∴PD+PE最小值为BE的长,
∵正方形ABCD的面积为12,
∴AB=12
又∵△ABE是等边三角形,
∴BE=AB=23
∴PD+PE最小值为23
故选:B.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,轴对称的性质,等边三角形的性质,解题的关键是根据轴对称的性质得出BE的长为PD+PE的最小值.
3.(2020·山东泰安·中考真题)如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为()
??
A.2+1 B.2+12
【答案】B
【分析】如图所示,取AB的中点N,连接ON,MN,根据三角形的三边关系可知OM<ON+MN,则当ON与MN共线时,OM=ON+MN最大,再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答.
【详解】解:如图所示,取AB的中点N,连接ON,MN,三角形的三边关系可知OM<ON+MN,则当ON与MN共线时,OM=ON+MN最大,
∵A(2,0),B(0,2),
则△ABO为等腰直角三角形,
∴AB=OA
∴ON=12
又∵M为AC的中点,
∴MN为△ABC的中位线,BC=1,
则MN=12
∴OM=ON+MN=2+
∴OM的最大值为2
故答案选:B.
??
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质,解题的关键是确定当ON与MN共线时,OM=ON+MN最大.
4.(2022·安徽蚌埠·统考一模)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=8,BC=6,P是△ABC内部的一个动点,满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为(???
A.325 B.2 C.213
【答案】D
【分析】结合题意推导得∠APB=90°,取AB的中点O,以点O为圆心,AB为直径作圆,连接OP;根据直角三角形斜边中线的性质,得OP=OA=OB=12AB=4;根据圆的对称性,得点P在以AB为直径的⊙O上,根据两点之间直线段最短的性质,得当点O、点P、点C三点共线时,PC
【详解】∵∠ABC=90°,
∴∠ABP+∠PBC=90°,
∵∠PAB=
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