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专题20全等三角形【十六大题型】
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【题型1利用全等三角形的性质求解】 2
【题型2添加一个条件使两个三角形全等】 3
【题型3结合尺规作图的全等问题】 4
【题型4全等三角形模型-平移模型】 6
【题型5全等三角形模型-对称模型】 7
【题型6全等三角形模型-旋转模型】 8
【题型7全等三角形模型-一线三等角模型】 10
【题型8全等三角形模型-手拉手模型】 11
【题型9构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法】 13
【题型10构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法】 14
【题型11构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线】 16
【题型12构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线】 17
【题型13利用角平分线的性质求解】 18
【题型14角平分线的判定定理】 19
【题型15利用全等三角形的性质与判定解决测量问题】 21
【题型16利用全等三角形的性质与判定解决动点问题】 22
【知识点全等三角形】
1.全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。
2.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
3.三角形全等的判定
(1)边边边(SSS):三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS):两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA):两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(5)斜边.直角边(HL):斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
4.全等变换
只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
【题型1利用全等三角形的性质求解】
【例1】(2023·四川德阳·统考二模)如图△AOB≌△ADC,∠O=∠D=90°,记∠OAD=α,∠ABO=β,当AO∥BC时,α与β之间的数量关系为(????).
A.α+β=90° B.α+2β=180° C.α=β D.α=2β
【变式1-1】(2023·河南·模拟预测)已知下图中的两个三角形全等,则∠α等于(????)
A.72° B.58° C.60° D.50°
【变式1-2】(2023·北京海淀·校考模拟预测)图中的小正方形边长都相等,若△MNP≌△MFQ,则点Q可能是图中的.
????
【变式1-3】(2023·浙江·模拟预测)如图,已知Rt△ABC≌Rt△DEF,∠C=∠F=90°,AC=DF=3,BC=EF=4,△DEF绕着斜边AB的中点D旋转,DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q.当△BDQ为等腰三角形时,AP
??
【题型2添加一个条件使两个三角形全等】
【例2】(2023·湖南长沙·统考中考真题)人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法:
已知:△ABC.
求作:△ABC
作法:如图.
(1)画B
(2)分别以点B,C为圆心,线段AB,AC长为半径画弧,两弧相交于点
(3)连接线段AB,A
请你根据以上材料完成下列问题:
(1)完成下面证明过程(将正确答案填在相应的横线上):
证明:由作图可知,在△AB
B
∴△A
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______.(填序号)
①AAS;②ASA;③SAS;④SSS
【变式2-1】(2023·湖南岳阳·统考一模)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点.请从以下三个条件:①BD=CE;②∠B=∠C;③∠BAD=∠CAE中,选择一个合适的作为已知条件,使得AD=AE.
??
(1)你添加的条件是______(填序号);
(2)添加了条件后,请证明AD=AE.
【变式2-2】(2023·河南·模拟预测)如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有(??)
??
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【变式2-3】(2023·广西柳州·统考中考真题)如图,点A,D,
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