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重难点突破14几何最值问题4种类型
(费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理)
题型01费马点
【基础】费马点概念:三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点,称为费马点.
结论:
1)对于一个各角不超过120°的三角形,费马点是对各边的张角都是120°的点;对于2)有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点.
(注意:通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°)
【解题思路】运用旋转的方法,以?ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形,根据两点之间线段最短,得出最短长度.
结论证明过程:
情况一:当△ABC各角不超过120°时,
将?APB绕着点B逆时针旋转60°得到?A’P’B
则?APB≌?A’P’B∴BP=BP’AP=AP’∠A’P’B=∠APB
而∠P’BP=60°则?P’BP为等边三角形
∴∠BPP’=∠P’BP=∠BP’P=60°
∵PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≤A’C
∴当A’、P’、P、C四点共线时,PA+PB+PC的最小值为A’C
此时∠BPC=180°-∠BPP’=120°
∠APB=∠A’P’B=180°-∠BP’P=120°
∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°
情况二(仅需理解):当△ABC有一个内角不小于120°时,
延长BA至C使得AC=AC,做∠CAP=∠CAP,
并且使得AP=AP,PC=PC,则△APC≌△APC
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP中,AP≥PP
∴PA+PB+PC≥PP+PB+PCBC=AB+AC((只有当P、A重合时取等号))
所以,当有一内角大于或等于120°时,所求的P点就是钝角的顶点.
【费马点的作法】(当△ABC各角不超过120°)
作法:1)如图,分别以?ABC中的AB、AC为边,作等边?ADB、等边?AEC
2)连接CD、BE,则?ADC≌?ABE(手拉手模型)
3)记CD、BE交点为P,点P为费马点.
4)以BC为边作等边?BCF,连接AF,必定经过点P,且BE=AF=CD.
【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论
如图所示,以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形,连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点.
图形
结论
等腰三角形
①∠APB=∠BPC=∠APC=120°;
②△ABP与△ACP全等;
③△BCP为等腰三角形;
④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小.
等边三角形
①AP=BP=CP;
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°;
③△ABP、△ACP、△BCP全等;
④点P是垂心,是△ABC各边的高线的交点;
⑤点P是△ABC各边的中线的交点;
⑥点P是内心,是在三角形三个内角的角平分线的交点;
⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小.
直角三角形
①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小;
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°
【进阶】
加权费马点模型概述:前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是l,如果现在求mPA+nPB+xPC最小值,前面系数不是1,那么此类题目就叫做“加权费马点”.
【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变,依然考的是旋转.
已知:在Rt△ABC中,∠ACB=30°,BC=6,AC=5,△ABC内部有一点P,连接PA,PB,PC
问题
求解图形
作法
求PA+PB+PC最小值
△CAP绕点C顺时针旋转60°得△CDE
BD长度即为所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC
求PA+PB+2PC最小值
△CAP绕点C顺时针旋转90°得△CDE
此时△PCE为等腰直角三角形,即PE=2PC
因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE,则当B、P、E、D四点共线时取得最小值,BD长度即为所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF
求PA+PB+3PC最小值
△CAP绕点C顺时针旋转120°得△CDE
此时△PCE为等腰三角形且∠PCE=120°,即PE=3PC,因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE,则当B、P、E、D四点共线时取得最小值,BD长度即为所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF
求2PA+PB+3PC最小值
思路:原式=2(PA+12PB+32PC)
1)将PC边绕点C旋转60°,然后过点P作PF⊥CE于点F,则PF=32PC;2)12PB利用三角形中位线来处理;3)P
过程:△BCP绕点C顺时针旋转60°得△CDE,然后
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