中考数学二轮培优 模型 方法 技巧突破专题2-1 将军饮马等8类常见最值问题（解析版）.doc

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专题2-1将军饮马等8类常见最值问题

TOC\o1-3\n\h\z\u题型一两定一动型（线段和差最值问题）

题型二双动点最值问题（两次对称）

题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）

题型四垂线段最短

题型五相对运动平移型将军饮马

题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马

题型七化斜为直，斜大于直

题型八构造二次函数模型求最值

一、单动点问题

【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小

问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB

【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小

问题解决：作B关于l的对称点B?PB＝PB，则PA＋PB＝PA＋PB，当A，P，B共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB

【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大

问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大

原理：三角形两边之和大于第三边，在△ABP中，|PA－PB|≤AB

【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大

问题解决：作B关于直线l的对称点B?PB＝PB，|PA－PB|＝|PA－PB|

原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB，在△ABP中|PA－PB|≤AB

二、双动点问题（作两次对称）

【问题5】在直线SKIPIF10，SKIPIF10上分别求点M，N，使△PMN周长最小

问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P，PM＝PM，PN＝PN，

原理：两点之间线段最短，P，P，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段PP的长

【问题6】P，Q为定点，在直线SKIPIF10，SKIPIF10上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小

问题解决：分别作点P，Q关于直线SKIPIF10，SKIPIF10的对称点P’和Q，PM＝PM，QN＝QN

原理：两点之间线段最短，连接PQ，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段PQ的长，周长最小值为PQ＋PQ

【问题7】A，B分别为SKIPIF10，SKIPIF10上的定点，M，N分别为SKIPIF10，SKIPIF10上的动点，求SKIPIF10最小值

问题解决：分别作SKIPIF10，SKIPIF10关于SKIPIF10，SKIPIF10的对称点SKIPIF10，SKIPIF10，则SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10即所求

原理：两点之间距离最短，A，N，M，B共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝AN＋MN＋BM≤AB

三、动线段问题（造桥选址）

【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值

问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B，连接BM，当ABM共线时有最小值

原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋BM≤AB＋MN

【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求SKIPIF10的最小值

问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B关于直线l的对称点B，当SKIPIF10共线有最小值

原理：通过平移构造平行四边SKIPIF10，

SKIPIF10

四、垂线段最短

【问题10】在直线SKIPIF10，SKIPIF10上分别求点A，B，使PB＋AB最小

问题解决：作SKIPIF10关于SKIPIF10的对称点SKIPIF10，作SKIPIF10于A，交SKIPIF10于B，SKIPIF10即所求

原理：点到直线，垂线段最短，