中考数学三轮冲刺专题06 圆与射影定理结合型压轴题专题（解析版）.doc

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专题06圆与射影定理结合型压轴题专题

（解析版）

射影定理模型：

射影定理，又称“\t/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank欧几里德定理”：在\t/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank直角三角形中，斜边上的高是两条\t/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank直角边在斜边射影的比例中项，每一条\t/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的\t/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank比例中项。射影定理是\t/item/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。

图形

推导过程

结论

因为SKIPIF10

SKIPIF10SKIPIF10∽SKIPIF10

SKIPIF10SKIPIF10

①SKIPIF10;

②SKIPIF10;

③SKIPIF10

1.（长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．

（1）+＝．

（2）若PN2＝PM?MN，则＝．

【解答】解：（1）∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN＝90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN＝∠MPN＝90°，

∵NE平分∠PNM，∴∠MNE＝∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴，即①，

∵∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°，∴∠NPQ＝∠PMQ，∵∠PQN＝∠PQM＝90°，

∴△NPQ∽△PMQ，∴②，∴①×②得，∵QF＝PQ﹣PF，∴＝1﹣，

∴+＝1，故答案为：1；

（2）∵∠PNQ＝∠MNP，∠NQP＝∠NPM，∴由射影定理得：PN2＝QN?MN，∵PN2＝PM?MN，∴PM＝QN，∴，∵，∴，∴，∴NQ2＝MQ2+MQ?NQ，即，设，则x2+x﹣1＝0，解得，x＝，或x＝﹣＜0（舍去）．

2．（北雅）如图，点在以为直径的半圆上运动（不与、重合），于点，过点作与平行交的延长线于点．

（1）求的度数；

（2）求证：与相切；

（3）若，求的值．

【解答】（1）解：是直径，，；

（2）证明：，，，，，

是半径，与相切；

（3）解：，，，，

，，，，，，，，同理得，，，，设，，，，（舍或．

3．（长沙中考）如图，点，，在上运动，满足，延长至点，使得，点是弦上一动点（不与点，重合），过点作弦的垂线，交于点，交的延长线于点，交于点（点在劣弧上）．

（1）是的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

（2）记，，的面积分别为，，，若，求的值；

（3）若的半径为1，设，，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

【解答】解：（1）是的切线．证明：如图，在中，，

．又点，，在上，是的直径．，．

又，．．是的切线．

（2）由题意得，，，．，

．．．又，，，．．．

又，．．．

由题意，设，．．．，．

．

（3）设，，．

如图，连接．

在中，．，．

在中，，．在中，．，．．在中，，．

．即．，最大值为与重合时，即为1．．

综上，，．

4.（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度数；

（2）求证：DF是⊙O的切线；

（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．

解：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；

（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；

(3)设DE＝1，则AC＝2，由射影定理得：AC2＝AD×A