专题31数列中错位相减法求和问题(原卷版+解析).docxVIP

专题31数列中错位相减法求和问题

【高考真题】

2022年没考查

【方法总结】

错位相减法求和

错位相减法：错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn．

用错位相减法求和时，应注意：

(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．

(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．

(3)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．

【题型突破】

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且eq\f(S10,10)＝eq\f(S5,5)＋5．

(1)求an；

(2)若bn＝an·4eq\s\up6(\f(Sn,an))求数列{bn}的前n项的和Tn．

2．(2020·全国Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．

(1)求{an}的公比；

(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．

3．(2017·天津)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，

b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4．

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，2Sn＝(n＋1)an－2．

(1)求a2，a3和通项an；

(2)设数列{bn}满足bn＝an·2n－1，求{bn}的前n项和Tn．

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn－n＝2(an－2)(n∈N*)．

(1)证明：数列{an－1}为等比数列；

(2)若bn＝an·log2(an－1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．

6．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋eq\f(1,2)an＝1(n∈N*)．数列{bn}是公差d不等于0的等差数列，且满足：

b1＝eq\f(3,2)a1，b2，b5，b14成等比数列．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

7．已知首项为2的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2，n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝eq\f(n＋1,an)，求数列{bn}的前n项和Tn．

8．已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(an,2an＋1)．

(1)证明数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，并求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝eq\f(1,2n·an)，求数列{bn}的前n项和Sn．

9．(2020·全国Ⅲ)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n．

(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．

10．在等差数列{an}中，已知a6＝16，a18＝36．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)若________，求数列{bn}的前n项和Sn．

在①bn＝eq\f(4,anan＋1)，②bn＝(－1)n·an，③bn＝2an·an这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

11．在①bn＝nan，②bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n为奇数，,log2an，n为偶数，))③bn＝eq\f(1,?log2an＋1??log2an＋2?)这三个条件中任选一个，补充在下

面问题中，并解答．

问题：已知数列{an}是等比数列，且a1＝1，其中a1，a2＋1，a3＋1成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记________，求数列{bn}的前2n项和T2n．

12．在①b2n＝2bn＋1，②a2＝b1＋b2，③b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补

充在下面的问题中，并求解．

已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an．公差不等于0的等差数列{bn}满足________，________，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))的前n项和Sn．

注：如果选择不同方案分别解答，按第一个解答计分．

13．在①已知数列{an}满足：an＋1