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5、最大似然法的估计方法为了取得?的最大似然估计，必须使似然函数L达到最大值，并且把此时的?^作为?的估计量。由于对数函数是单增的，L达到最大亦即LnL达到最大。这样使LnL达到最大来估计?为计算带来了许多方便。根据微分中的拉格朗日定理，对未知参数求条件极值，令LnL对?的一阶导数等于0，即dLnL/d?=0==得到似然方程，我们所求的?^就是似然方程中?的解。5、最大似然法示例之一t分布和正态分布概率密度x标准正态分布t-分布06.F分布定义4.7F分布的定义F分布的图象x概率密度二、各种分布之间的联系1.一般正态分布与标准正态分布的关系定理4.6如果X~N（?，?2），则（X-?）/?~N（0，1）2.标准正态分布与X2分布之间的关系定理4.7如果X~N（0，1），则X2~X2（1），即服从具有1个自由度的分布。3.标准正态分布与t分布之间的关系其密度函数见定义4.6。二、各种分布之间的联系4.标准正态分布（分布）与F分布之间的关系5.关于正态分布的和二、各种分布之间的联系6.关于X2分布总体与样本间的联系在于具有相同的分布总体就是一个随机变量，所谓样本就是n个相互独立的与总体具有相同分布的随机变量x1,……,xn，即n元随机变量。以上的定理就是将总体与样本间的这种联系具体化，从而为达到通过样本的特征估计和代替总体的特征铺平道路。例如，已知一个研究对象?的数量特征服从N(?,?2)，那么依据定理4.6，首先将其标准化，然后查标准正态分布表，就可以获得所需的信息。如果，对研究对象了解的信息并不完备，只知其属于正态分布均值为?，但未知方差，则可利用定理4.15通过s2代替?2，用t分布来估计未知总体的数字特征。在区间估计和假设检验中将会广泛地利用这些定理，通过样本估计总体和检验对总体的假设。第五节通过样本，估计总体（一）——估计量的特征对总体的数量特征可以提出若干估计量。所谓估计量的特性指的是衡量一个统计量用以估计总体参数的好坏标准。我们构造一个统计量时，它们就应当具有这些优良性，否则就不采用他来估计总体参数。估计量的优良性可从四个方面进行衡量：一、无偏性二、有效性三、均方误最小性四、一致性一、无偏性无偏性的直观意义：根据样本推得的估计值和真值可能不同，然而如果有一系列抽样依据同一估计方法就可以得到一系列估计值，很自然会要求这些估计的期望值与未知参数的真值相等。这就是无偏性的概念，无偏性的直观意义是：样本估计量的数值在真值周围摆动，即无系统误差。定义5.1无偏性的定义?的真值?的真值有偏无偏无偏性是对估计量最重要的要求之一，它只能保证估计量的期望等于真值。对于总体某个待定参数，其无偏估计量不只一个。二、有效性总体某个参数?的无偏估计量往往不只一个，而且无偏性仅仅表明?^的所有可能的取值按概率平均等于?，它的可能取值可能大部分与?相差很大。为保证?^的取值能集中于?附近，必须要求?^的方差越小越好。所以，提出有效性标准。有效性的定义?的真值?的真值?^的概率?^的概率无偏有效估计量的意义（1）一个无偏有效估计量的取值在可能范围内最密集于??附近。换言之，它以最大的概率保证估计量的取值在真值?附近摆动。（2）可以证明，样本均值是总体数学期望的有效估计量。三、均方误（MeanSquareError）

最小性在很多情况下，我们被迫在偏差的大小与方差的大小（即无偏与有效性）之间作出抉择。有时，一个方差极小的有偏估计比一个方差极大的无偏估计可能更为我们所追求。此时，估计量的均方误为我们在两者之间的权衡提供了一个有效的尺度。均方误和均方误最小性的定义均方误最小的意义（1）MSE（均方误差）分解为精确度与准确度之和。MSE最小就是使估计量方差与估计量偏误之和最小，给出了进行权衡的方法（见下图）（2）如果估计量为无偏估计量Bias=0，那么MSE(?^)=Var(?^)即误差由精确度确定。此时，一个具有最小MSE的估计量一定具有无偏性和有效性，即MinMSE(?^)=MinVar(?^)。运用MSE权衡偏差与方差?有偏，方差极小无偏，方差极大?^?^的概率四、一致性（1）“依概率收敛”的定义（2）一致性（3）一致性的意义（1）“依概率收敛”的定义（2）一致性一致性既是从概率又是从极限性质来定义的，因此只有样本容量较大时才起作用。一