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第一讲等差数列

知识要点与学法指导：

这一讲我们主要学习简单的数列求和，所用知识是等差数列的求和公式和等差数列等概

念。

数列：按一定次序排列的数叫数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫

做第1项（首项）、第2项……第n项（末项）。

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个

常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。

数列求和公式：

和＝（首项＋末项）×项数÷2

用字母表示为s＝(a＋a)×n÷2

1n

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

用字母表示为n＝(a－a)÷d＋1

n1

末项＝首项＋公差×（项数－1）

用字母表示为an＝a1＋d×(n－1)

例1计算：3＋6＋9＋……＋90

【分析与解】

这是一个公差为3的等差数列，求和是多少，这个数列的首末两项和是3＋90＝93，而

第二项与倒数第二项的和是6＋87＝93，可以发现，与首末等距离的两项的和都是93，于是

可以想到，求这个数列的和，只要用首末两项的和乘以项数再除以2就可以了。但项数并不

能直接看出来，需要用（末项－首项）÷公差＋1计算出来。

项数：(90－3)÷3＋1

＝87÷3＋1

＝29＋1

＝30

原式＝（3＋90）×30÷2

＝93×30÷2

＝1395

试一试1

计算：19＋22＋25＋28＋……＋313

例2试求大于100而小于200的所有4的倍数之和。

【分析与解】

每4个连续数必有一个数是4的倍数，大于100又是4的倍数的第一项是104，小于200

又是4的倍数中最大的一个是200－4＝196即末项，这个数列的公差是4，通过首项、末项

和公差可以求出项数。这个数列即：104、108……196

项数：(196－104)÷4＋1

＝92÷4＋1

＝23＋1

＝24

数列和：(104＋196)×24÷2

＝300×24÷2

＝3600

答：大于100而小于200的所有4的倍数和是3600。

试一试2

求大于100而小于200所有5的倍数的和。

例3下面的一列数是不是等差数列？求出它的第90项。

2＋54＋86＋118＋1410＋17……

【分析与解】

判断上面一列数是不是等差数列，可以分两步观察，做出分析，先分析第一个加数，再

分析第二个加数，如果两个加数分别处在等差数列之中，那么它们的和一定是等差数列。

2＋5

4＋8

6＋11

8＋14

10＋17

……

第一个加数2、4、6、8、10、……是等差数列；

第二个加数5、8、11、14、17、……是等差数列；

题中给的一列数是等差数列。

第90项的第一个加数是：2＋（90－1）×2＝180

第二个加数是：5＋（90－1）×3＝272

第90项是：180＋272

答：第90项是180＋272。

试一试3