B样条曲线专题教育课件市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

;二、B样条曲线

１.从Bezier曲线到Ｂ样条曲线

(1)Bezier曲线在应用中不足：

缺乏灵活性一旦确定了特征多

边形顶点数(m个)，也就决定了曲

线阶次(m-1次)，无法更改；

控制性差当顶点数较多时，曲

线阶次将较高，此时，特征多边形

对曲线形状控制将显著减弱；;

不易修改由曲线混合函数可

看出，其值在开区间(0,1)内均不为

零。所以，所定义之曲线在(0t1)

区间内任何一点均要受到全部顶

点影响，这使得对曲线进行局部修

改成为不可能。

（而在外形设计中，

局部修改是随时要进行）;

;为了克服Bezier曲线存在问题，

Gordon等人拓展了Bezier曲线，就

外形设计需求出发，希望新曲线

要：易于进行局部修改；

更迫近特征多边形；

是低阶次曲线。

于是，用n次Ｂ样条基函数替换了伯

恩斯坦基函数，结构了称之为Ｂ样条

曲线新型曲线。;2.Ｂ样条曲线数学表示式

Ｂ样条曲线数学表示式为：

;;连接全部曲线段所组成整条曲线称

为n次Ｂ样条曲线。依次用线段连接

点Pi+k(k=0,1,…,n)所组成多边折

线称为Ｂ样条曲线在第i段Ｂ特征多

边形。

;３.二次Ｂ样条曲线

在二次Ｂ样条曲线中，n=2,k=0,1,2

故其基函数形式为：

;有了基函数，所以可写出二次Ｂ样条

曲线分段表示式为：

;写成普通矩阵形式为：

;n=2,二次B样条曲线

m+n+1个顶点，三

点一段，共m+1段。;二次Ｂ样条曲线性质

先对P(t)求导得：

;与以上这些式子所表示性质相符

曲线是何种形状：（见下列图）

;结论：分段二次B样条曲线是一条抛

物线；有n个顶点定义二次B样条曲

线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三

点定义）连接，并在接点处到达一

阶连续。（见下列图）

;４.三次Ｂ样条曲线

分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点

定义，其表示式为：

P(t)=F0,3(t)?B0+F1,3(t)?B1+F2,3(t)?B2

+F3,3(t)?B3(0≤t≤1)

可见，由n个顶点定义完整三次

Ｂ样条曲线是由n-3段分段曲线连接

而成。很轻易证实，三次Ｂ样条曲

线在连接处到达二阶连续。***;Ｂ样条曲线是一个非常灵活曲线，曲线

局部形状受对应顶点控制很直观。这

些顶点控制技术假如利用得好，能够使整

个Ｂ样条曲线在一些部位满足一些特殊技

术要求。如：能够在曲线中结构一段直线；

使曲线与特征多边形相切；

使曲线经过指定点；

指定曲线端点；

指定曲线端点约束条件。;对于特征多边形迫近性

二次B样条曲线优于三次B样条曲线

三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线

相邻曲线段之间连续性

二次B样条曲线只到达一阶导数连续

三次B样条曲线则到达二阶导数连续

角点修改对曲线形状影响

Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线形状。

B样条曲线：修改一个角点只影响该角点所在位置前后

三段曲线形状。;;;;;6.5Bézier曲面和B样条曲面;曲面形状、位置由边界上四个角点决定。中间角点只反应曲面凹凸程度。

;;给定空间16个位置点bij，能够确定一张三次Bezier曲面片。

;Bézier曲面定义

;P04

;Bézier曲面矩阵表示是：

;

控制网格四个角点是曲面四个端点。决定了曲线形状，位置。;(2)边界限位置;双一次Bezier曲面：取m=n=1。这是一张双曲抛物面（马鞍面）；

双二次Bezier曲面：取m=n=2。该曲面四条边界是抛物线。；

双三次Bezier曲面：取m=n=3；

;端点u向切矢和v向切矢分别为和

，所以三角形所在平面在P00点和曲面相切。同理，三角形,,

所在平面分别在点,,处与曲面相切。;由端点切平面知，是在点处法向；其余各端点，，处法向情况也类似。

;

(6)仿射不变性

曲面形状仅与点位置相关，而与坐标系选择无关。

(7)拟局