高中数学：2022年基础教育精品课《1-3空间向量运算的坐标表示教学设计》 (1).docx

基础教育精品课

教学设计

课程基本信息

学科

高中数学

年级

高二

学期

秋季

课题

1.3空间向量运算的坐标表示

教科书

书名：普通高中数学教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年7月

教学目标

1.通过复习回顾和类比平面向量线性运算的坐标表示，掌握空间向量的线性运算、数量积的坐标表示；

2.通过例题的解决，能根据向量坐标，判断两个向量的共线和垂直；

3.掌握向量模的公式、夹角公式，并能解决数学问题；

4.通过学习空间向量坐标运算的表示，能够将几何法不易证明的空间立体问题转化为代数问题。

教学内容

本节课内容选自普通高中数学教材人教A版数学选择性必修第一册第一章第三节第二课时《空间向量运算的坐标表示》。学生已经学习了有关空间向量坐标的一些基础知识，对正交基底及空间直角坐标系已经有所了解。空间向量是学生接触到平面向量后的升华，一方面，它是对向量坐标运算的巩固，另一方面，为后续研究空间向量的应用打下良好基础。

引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础。

本节课主要涉及的数学思想为类比法和转化法。类比法是空间向量运算的坐标表示可以通过平面向量运算的坐标表示类比、猜测得到；转化法是用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明，将几何问题转化为代数问题。

1.教学重点：

（1）空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示及向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式。

2.教学难点：

（1）理解并应用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题。

教学过程

（一）复习回顾

请同学们通过观看视频回顾上一节课内容。

师生活动：学生观看视频，回顾知识。

设计意图：通过观看视频，引起学生们的兴趣，并回顾上节课的内容。

（二）知识的引入

问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？

平面向量运算的坐标表示

空间向量运算的坐标表示

设

设

加

减

数乘

数量积

问题2：除了这些线性运算外，在平面向量坐标中还有哪些坐标运算呢？那空间向量是否也有呢？

平面向量运算的坐标表示

空间向量运算的坐标表示

a∥b

a＝λb(λ∈R,b≠0)

a＝λb(λ∈R,b≠0)?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2

?x1＝λx2，y1＝λy2

是否能表示为x1x2=y

?x1y2-x2y1＝0

当b≠0时，表示的是x2，y2，z2中至少一个不为0.例如b=(2,1,0)时，此时z1

只有当x2，y2，z2均不为0时，x1x2=y

a⊥b

a·b＝0?x1x2+y1y2＝0

a·b＝0?x1x2+y1y2+z1z2＝0

师生活动：学生独立思考、讨论交流、完成表格。

教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，我们已经学习了平面向量的坐标运算，大家是否还记得呢？

设计意图：引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法.通过类比平面向量中的坐标运算，提出要研究的问题，思考要研究的对象。

问题3：空间向量的度量关系是否也可以用坐标表示？

平面向量运算的坐标表示

空间向量运算的坐标表示

模长a

a=a?a=

a=a?a=x12+y1

夹角

cosa,b=

=x

cosa,b=

=x

问题4：面对空间向量坐标运算的数量积表达式，我们该如何证明呢？可以一起回忆平面向量坐标运算的数量积表达式的证明推导过程.引导学生动手共同来证明一下：

设i,j,k

所以a

利用向量数量积的分配律以及i?i=j

得到：a

问题5：另外，设空间中点A(a1，a2，a3)，点B(b1，b2，b3)，则AB的坐标表示是什么？

AB

=(

两点间的距离公式AB=AB为：QUOTE=(b1-a

AB

问题6：若将点A改为(a1，a2，a3，t1)，点B改为(b1，b2，b3，t2)，则AB两点间的距离是多少？那么四维向量的加法、减法、数乘、位置关系、度量关系的坐标运算结果是怎样呢？

设计意图：对于难度不算太大的内容，通过阅读，类比熟悉的已经掌握的平面向量运算的知识，提出自己的大胆猜想，深入理解概念；通过具体演算证明，来验证抽象的概念，从而更深入理解概念。再通过追问，将三维向量推广至更高维的向量，让学生对向量空间的理解更加深刻。通过以上的学习，