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《实变函数》教学大纲

一、课程名称：

《实变函数论》

二、课程性质：

数学与应用数学专业必修课，信息与计算科学专业选修课

先修课程：数学分析、高等代数、复变函数论、常微分方程等课程

三、课程的地位及教学目的

《实变函数》是在数学分析的基础上发展起来的一门学科，是数学专业的一

门重要的专业基础课。其内容主要是以n维欧氏空间上的实值函数为对象，介绍

勒贝格测度和勒贝格积分理论。《实变函数》这一课程无论在思想方法上，还是

在理论上都把数学分析往前推进了一步，在经典数学与现代数学之间起着承前启

后的作用。

教学目的是通过对该课程的学习，使学生掌握《实变函数》的基本理论和基

本方法，特别是勒贝格测度理论和勒贝格积分理论，进一步充实、拓宽和加深已

经学过的数学基础知识和分析功底，提高对数学概念和数学方法的认识水平，同

时也提高学生分析抽象问题和解决应用问题的能力，为今后从事《分析学》领域

的研究工作打下坚实的基础。

四、教学原则与教学方法

按照数学学科的特点和规律，《实变函数》这一课程应采取精讲、讨论与自

学相结合的手段。考虑到《实变函数》这一课程具有高度的抽象性，在教学过程

中应主要采用精讲的方式，个别内容可以进行讨论或留给学生自学。

采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习

积极性，达到教学目的。

五、总学时

68课时（含复习考试）

六、课程教学内容要点及建议学时分配

第一章集合（10学时）

一、教学目的与要求

通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）集合的运算，重点是无

穷集合的运算及集合的极限运算；（2）掌握基数概念，理解并较熟练应用伯恩斯

坦定理；（3）掌握可数集和不可数集的基本知识。

二、教学原则与教学方法

综合运用线性代数，数学分析的相关知识，将集合的运算推广到无穷多个集

合上；引入集合间的对等概念进而给出基数概念，进而讨论与此有关的一系列相

关问题，如集合列的收敛性、可数集、不可数集的性质的讨论等。

教学方法以讲解和讨论为主。

1.1集合的概念

1.2*集合的运算（2课时）

1.3*对等与基数（4课时）

1.4*可数集与不可数集（4课时）

1.5半序集与Zorn引理（简单介绍）

作业要求：完成13~15道基础性练习题，1~2提高性练习题。

第二章点集（11学时）

一、教学目的与要求

通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）度量的概念，集合与空

间的关系与区别；（2）点与集合之间的位置关系；（3）开集、闭集、完备集及其

性质。

二、教学原则与教学方法

欧氏空间中以领域为工具确定点与集合之间的位置关系因而引入开集、闭

集、完备集的概念并研究它们的性质及构造。

教学方法以讲解和讨论为主。

2.1度量空间,维欧氏空间（2课时）

n

2.2*聚点，内点，界点（3课时）

2.3*开集，闭集，完备集（3课时）

2.4*直线上的开集，闭集和完备集的构造（3课时）

作业要求：完成8~10道基础性练习题，1~2提高性练习题。

第三章测度论（12学时）

一、教学目的与要求

通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）外侧度、测定的概念及

性质；（2）可测集类及其性质。

二、教学原则与教学方法