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习题课(六)
内容:不定积分的概念及积分方法
基本要求:1.理解原函数与不定积分的概念。
2.掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。
3.掌握不定积分的积分方法。
4.会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。
内容与方法精讲:
一.原函数与不定积分的概念
IF(x)f(x)dF(x)f(x)dxF(x)
1.原函数定义:在区间上,若(即),称函数
f(x)I
是函数在区间上的一个原函数。
f(x)If(x)I
2.原函数存在的条件:若函数在区间上连续。则在区间上有原函数。
f(x)IF(x)Cf(x)I
3.不定积分:函数在区间上的所有原函数称为在区间上
的不定积分,记作f(x)dxF(x)C.
4.不定积分与导数的关系:
(1)先积分再求导(或微分)
[f(x)dx]f(x),或d[f(x)dx]f(x)dx;
(2)先求导(或微分)再积分
F(x)dxF(x)C,或dF(x)F(x)C.
5.不定积分的线性性:
(1)kf(x)dxkf(x)dx;
(2)[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx.
二.基本积分公式(略)
三.不定积分的方法
1.拆项积分法:利用不定积分的线性性,将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分
公式中的积分,从而进行积分。(关键体现在拆项上,例如:通过有理化;利用三
角公式;在分子上加一项,减一项等都是常用的手段)。
2.凑微分法:f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)F[(x)]C.
主要用来解决复合函数的积分(确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分)。
要熟练常用的几个凑微分式子:
1
(1)f(axb)dxf(axb)d(axb)(a0);
a
1
1111
(2)xf(axb)dxf(axb)d(axb)(a0);
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