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《泛函分析》课程简介泛函分析3
FunctionalAnalysis3-0
预修课程：数学分析、实变函数
面向对象：数学系本科生
泛函分析是一门极其重要的基础数学课程。对绝大多数现代数学研究领域都
是必不可少的修养之一，对诸多应用科学也有广泛的影响。本课程的主要内容包括距离空间，
拓扑空间，赋范线性空间，内积空间，及其上的有界线性泛函与有界线性算子的理论。结合
p
L空间，C空间等常用的例子，重点介绍一些前沿科学中的分析方法。
推荐教材或主要参考书：
《实变函数与泛函分析概要》郑维行，王声望，高等教育出版社
《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社，1992。
《FunctionalAnalysis》，Yosida，Springer，1995。
《泛函分析》教学大纲泛函分析3
FunctionalAnalysis3-0
预修课程：数学分析、实变函数
面向对象：数学系本科生
一、教学目的和基本要求：
泛函分析是一门极其重要的基础数学课程。对绝大多数现代数学研究领域都
是必不可少的修养之一，对诸多应用科学也有广泛的影响。本课程的主要内容包
括距离空间，拓扑空间，赋范线性空间，内积空间，及其上的有界线性泛函与有
p
界线性算子的理论。结合L空间，C空间等常用的例子，重点介绍一些前沿科学
中的分析方法。
二、主要内容及学时分配：
每周3学时，共16周。
1．距离空间与拓扑空间（10学时）
距离空间基本概念，稠密性，可分性，完备性，距离空间的完备化；拓扑空
间，Hausdorff空间；紧集，列紧集，Arzela-Ascoli定理；不动点定理。
2．赋范线性空间（11学时）
赋范线性空间，Banach空间基本概念；p空间基本概念，Holder不等式，
L
p
Minkowski不等式，空间的完备性，可分性；赋范线性空间的进一步性质，Riesz
L
引理；有限维赋范线性空间。
3．有界线性算子（15学时）
有界线性泛函与有界线性算子，有界线性算子的正则集与谱集，谱半径，；
共鸣定理极其应用；Banach开映射定理，闭图像定理；Hahn-Banach定理及推论；
一些赋范线性空间上有界线性泛函的一般形式；自反性，弱收敛；紧算子的性质，
Riesz-Schauder理论。
4．Hilbert空间（10学时）
内积空间基本概念，Schwarz不等式，极化恒等式，平行四边形公式；正交
性，Bessel不等式，Parseval公式；Riesz表示定理；Hilbert空间空间的共轭
空间，共轭算子，双线性泛函。
5．复习课（2学时）
三、教学方式：
课堂讲授
四、相关教学环节安排：
1．每章2学时习题课；
2.每周布置作业，量为3-5小时。
五、考试方式及要求：闭卷。
六、推荐教材或主要参考书：
《实变函数与泛函分析概要》郑维行，王声望，高等教育出版社
《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社，1992。
《FunctionalAnalysis》，Yosida，Springer，1995。
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