线性离散系统的数学模型和方法分析.docx

§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法

大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。

一、线性离散系统的数学描述

差分方程

对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入u(kT)和输出y(kT)之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示

y(kT)?ay(kT?T)???ay(kT?nT)?bu(kT)?bu(kT?T)???b

u(kT?nT) (10.17)

1 n 0 1 n

(10.17)式也可以写成如下紧缩的形式

y(kT)??na

i

y(kT?iT)??n

bu(kT?iT) (10.18)

i

i?1 i?0

如果引入后移算子q?1，即

q?1y(kT)?y(kT?T) (10.19)

则(10.18)式可写成多项式的形式

A(q?1)y(kT)?B(q?1)u(kT) (10.20)

式中

A(q?1)?1?a

1

q?1? ?a

?n

?

q?n

B(q?1)?b ?bq?1???b

q?n

0 1 n

方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低

?指数之差n被称为差分方程的阶数。如果(10.17)式中右端的系数项b，i?0,1,,n，不全为零，

?

i

则此方程被称为非齐次方程。方程右端又被称为驱动项。方程的阶数和系数反映系统的结构特征。用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。齐次差分方程表征了线性离散系统在没有外界作用的情况下，系统的自由运动，它反映了系统本身的物理特性。

差分方程的解

线性常系数差分方程求解方法和线性代数方程的求解相类似，其全解y(kT)由齐次方程的通解

y(kT)和非齐次方程的特解y(kT)两部分组成，即

1 2

y(kT)?y

1

(kT)?y

2

(kT) (10.21)

其中特解y(kT)可用试探法求出，非齐次差分方程的特解反映了离散系统在外界作用下，系统的强

2

迫运动。(10.17)的特征方程为

qn?a

1

qn?1? ?a

?n

?

?(q?q

1

)(q?q

2

) (q?q

?n

?

)?0 (10.22)

?其中q,i?1,2, ,n为特征方程的根。根据特征根q的不同情况，齐次方程的通解形式也不同。考

?

i i

虑下面三种情况。

无重根，即当i?j时，q

i

?q，则通解为

j

y(kT)?cqk?c

qk???cqk

??n

cqk

(10.23)

1 11 2 2

n n i i

i?1

?式中待定系数c,i?1,2, ,n，由系统的n个初始条件确定。

?

i

全为重根，即q

i

?q,i?1,2, ,n，则通解为

?1

?

y(kT)?cqk

1 11

ckqk

2 1

?c

?n

?

kn?1qk

1

??n

i?1

cki?1qk (10.24)

i 1

其中c

i

为待定系数。

有r个重根，其余的不是重根，即

则通解为

q ?q

i 1

，当i?r时；而q

i

?q，当i,j?r且i?j时

j

y(kT)??r

1

cki?1qk

i 1

?n

cqk

i i

(10.25)

i?1 i?r?1

其中c

i

为待定系数。

从上面讨论中，可以归纳出经典的解差分方程方法如下：

求齐次方程的通解y(kT)；

1

求非齐次方程的一个特解y(kT)；

2

差分方程的全解为 y(kT)?y

1

(kT)?y

2

(kT)；

利用n个初始条件或其它条件确定通解中的n个待定系数。

[例10-1]求解二阶差分方程

y(kT?2T)?3y(kT?T)?2y(kT)?3k，y(0)?y(T)?0

解：先设特解为y(k