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浙江省慈溪市三山高级中学2024届高三下第一次测试数学试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足,则的最大值为()
A. B. C. D.6
2.“”是“直线与互相平行”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若的展开式中的系数为-45,则实数的值为()
A. B.2 C. D.
4.已知等差数列的前项和为,且,则()
A.45 B.42 C.25 D.36
5.已知,,为圆上的动点,,过点作与垂直的直线交直线于点,若点的横坐标为,则的取值范围是()
A. B. C. D.
6.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为()
A.1 B.-1 C.8l D.-81
7.已知向量,且,则等于()
A.4 B.3 C.2 D.1
8.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()
A. B. C. D.
9.在中,为中点,且,若,则()
A. B. C. D.
10.已知函数满足:当时,,且对任意,都有,则()
A.0 B.1 C.-1 D.
11.下列函数中,值域为R且为奇函数的是()
A. B. C. D.
12.已知点是抛物线:的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知数列的各项均为正数,记为的前n项和,若,,则________.
14.已知,,且,则最小值为__________.
15.曲线在处的切线的斜率为________.
16.的展开式中,的系数为_______(用数字作答).
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,D是在△ABC边AC上的一点,△BCD面积是△ABD面积的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.
(Ⅰ)若θ=,求的值;
(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求边AC的长.
18.(12分)已知函数.
(1)解不等式;
(2)记函数的最小值为,正实数、满足,求证:.
19.(12分)购买一辆某品牌新能源汽车,在行驶三年后,政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者,就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查,其样本频率分布直方图如图所示
.
(1)估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)将频率视为概率,从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取人,记对购车补贴金额的心理预期值高于万元的人数为,求的分布列和数学期望;
(3)统计最近个月该品牌汽车的市场销售量,得其频数分布表如下:
月份
销售量(万辆)
试预计该品牌汽车在年月份的销售量约为多少万辆?
附:对于一组样本数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
20.(12分)设函数.
(1)求的值;
(2)若,求函数的单调递减区间.
21.(12分)已知,(其中)
.
(1)求;
(2)求证:当时,.
22.(10分)已知,其中.
(1)当时,设函数,求函数的极值.
(2)若函数在区间上递增,求的取值范围;
(3)证明:.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
设,,利用复数几何意义计算.
【详解】
设,由已知,,所以点在单位圆上,
而,表示点
到的距离,故.
故选:B.
【点睛】
本题考查求复数模的最大值,其实本题可以利用不等式来解决.
2、A
【解析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定
【详解】
当时,直线方程为与,可得两直线平行;
若直线与互相平行,则,解得,
,则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件,故选
【点睛】
本题主要考查了两直线平行的条件和性质,充分条件,必要条件的定义和判断方法,属于基础题.
3、D
【解析】
将多项式的乘法式展开,结合二项式定理展开式通项,即可求得的值.
【详解】
∵
所以展开式中的系数为,
∴解得.
故选:D.
【点睛】
本题考查了二项式定理
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