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2023-2024年第二学期高一年级4月期中摸底调研
数学学科
(总分:150分;考试时长:120分钟)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设(其中为虚数单位),若为纯虚数,则实数(▲)
A. B. C. D.
2.若,则(▲)
A. B. C. D.
3.已知等边三角形的边长为1,设,,,那么(▲)
A.3 B. C. D.
4.已知,则(▲)
A. B. C. D.
5.等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形,它是最美的三角形.例如,正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成,且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形,如图所示:在黄金角形ABC中,,根据这些信息,可求得的值为(▲)
A. B. C. D.
6.已知向量,,则向量在向量方向上的投影向量为(▲)
A. B. C. D.
7.在中,,则(▲)
A. B. C. D.
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,且,则△ABC面积的最大值是(▲)
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列关于平面向量的说法中正确的是(▲)
A.已知均为非零向量,若,则存在唯一的实数,使得
B.已知非零向量,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是
C.若且,则
D.若点为的重心,则
10.已知i为虚数单位,以下说法正确的是(▲)
A.
B.复数的虚部为2
C.复数在复平面对应的点在第一象限
D.为纯虚数,则实数
11.由倍角公式可知,可以表示为的二次多项式.一般地,存在一个次多项式(,,…,),使得,这些多项式称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得(▲)
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.定义一种运算如下:,则复数的共轭复数是▲.
13.已知,则▲,▲.
14.已知非零向量,,对任意实数,恒成立,则的取值范围是▲.
四、解答题:解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知向量,.
(1)求与夹角的余弦值;
(2)若,求的值.
16.在①;②复平面上表示的点在直线上;③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答:
已知复数;(为虚数单位),满足.
(1)若,求复数以及;
(2)若是实系数一元二次方程的根,求实数的值
17.在中,角,,所对的分别为,,.向量,,且.
(1)求的值;
(2)若,,求的面积
18.重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市,而重庆比武汉、南京更厉害,堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄(如图).为吸引游客,准备在门前两条夹角为(即)的小路之间修建一处弓形花园,使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感,已知弓形花园的弦长且点,落在小路上,记弓形花园的顶点为,且,设.
????
(1)将,用含有的关系式表示出来;
(2)该山庄准备在点处修建喷泉,为获取更好的观景视野,如何规划花园(即,长度),才使得喷泉与山庄距离即值最大?
19.设正的边长为为的外心,为边上的等分点,为边上的等分点,为边上的等分点.
(1)当时,求的值;
(2)当时.
(i)求的值(用表示);
(ii)求的最大值与最小值.
参考答案
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.C
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.AD 10.AD 11.BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
12.
13.2/
14.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1)解:由向量,,可得,且,
所以与夹角的余弦值.
(2)解:由,
可得,
即,解得.
16.选条件①:.
因为,所以,
解得,又,所以;
选条件②:复平面上表示的点在直线上.
因为,
所以,其表示的点为,
有,解得;
选条件③:.
因为,所以,
所以,解得.
(1),;
(2)是实系数一元二次方程的根,
则也是该方程的根,所以m=-(+)=.
17.(1)因为,,且,
所以,
由正弦定理,得,
又,,从而,
因为,所以.
(2)由余弦定理,得,
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