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直线与平面平行的性质
平面与平面平行的性质
●三维目标
1.知识与技能
(1)掌握直线与平面平行的性质定理及其应用,掌握两个平面平行的性质定理及其应用.
(2)运用两个定理实现“线线”、“线面”平行的转化,进一步发展空间想象能力和逻辑思维能力.
2.过程与方法
学生通过观察与类比,借助实物模型理解性质及应用.
3.情感、态度与价值观
(1)在推理和证明过程中,提高探究能力,逐渐养成严谨的科学态度.
(2)增强“数学来源于生活、应用于实践”的意识,培养审美情趣.
(3)进一步渗透等价转化的思想.
●重点难点
重点:两个性质定理及其应用.
难点:两个性质定理的探索过程及应用.
重难点突破:以教材中的“思考”为切入点,引出直线和平面平行的性质定理及平面和平面平行的性质定理.接着以长方体为载体,对这两个问题进行探究,通过操作确认,先得出两个性质定理的猜想,然后通过逻辑论证,证明猜想的正确性,从而得到性质定理.最后可通过题组训练,采用师生互动、讲练结合的方式,帮助学生突出重点、化解难点.
【课前自主导学】
课标解读
1.理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义.(重点)
2.能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理.(重点)
3.能用直线与平面、平面与平面的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题.(难点)
直线与平面平行的性质
【问题导思】
1.如图,直线l∥平面α,直线a?平面α,直线l与直线a一定平行吗?为什么?
【提示】不一定,因为还可能是异面直线.
2.如图,直线a∥平面α,直线a?平面β,平面α∩平面β=直线b,满足以上条件的平面β有多少个?直线a,b有什么位置关系?
【提示】无数个,a∥b.
直线与平面平行的性质定理
(1)文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
(2)符号语言:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.
(3)图形语言:如图所示.
(4)作用:证明两直线平行.
平面与平面平行的性质
【问题导思】
观察长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D
1.平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD
【提示】是的.
2.若m?平面ABCD,n?平面A1B1C1D1,则m∥n
【提示】不一定.
3.过BC的平面交面A1B1C1D1于EF,EF与BC
【提示】平行.
平面与平面平行的性质定理
(1)文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
(2)符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.
(3)图形语言:如图所示.
(4)作用:证明两直线平行.
【课堂互动探究】
线面平行的性质定理的应用
求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.
【思路探究】先写出已知求证,再借助线面平行的性质定理求解.
【自主解答】已知直线a,l,平面α,β满足α∩β=l,a∥α,a∥β.求证:a∥l.
证明:如图所示,过a作平面γ交平面α于b,
∵a∥α,∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c,
∵a∥β,∴a∥c.则b∥c.又∵b?β,c?β,∴b∥β.
又∵b?α,α∩β=l,∴b∥l.
又∵a∥b,∴a∥l.
1.利用线面平行的性质定理解题的步骤
2.如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行,那么在解决过程中,一定会用到线面平行的性质定理.在应用性质定理时,关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线与已知直线平行.
如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG.
求证:EH∥BD.
【证明】因为EH∥FG,FG平面BCD,EH平面BCD,
所以EH∥平面BCD.因为EH平面ABD,
平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.
面面平行的性质定理的应用
如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点.M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NF∥CM.
【思路探究】先证DE,DF均与平面ABC平行,再证平面DEF∥平面ABC,进而由面面平行的性质定理证得NF∥CM.`
【自主解答】因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.
又DE平面ABC,AB平面ABC,所以DE∥平面ABC,
同理DF∥平面ABC,且DE∩DF=D,所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF,平面PCM∩平面ABC=CM,所以NF∥CM.
1.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
2.常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(3)经过
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