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考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
题型有:1.选择题2.填空题3.解答题
选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.(1989年)设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解,c1,c2是任意常数,则该非齐次方程的通解是
A.c1y1+c2y2+y3
B.c1y1+c2y2一(c1+c2)y3
C.c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3
D.c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3
正确答案:D
解析:由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解,且y1一y3与y2—y3线性无关.事实上,若令A(y1—y3)+B(y2一y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1,y2,y3线性无关,则A=0,B=0,一(A+B)=0因此y1一y3与y2一y3线性无关,故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解.知识模块:常微分方程
2.(1991年)若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于
A.exln2
B.e2xln2
C.ex+ln2
D.e2x+ln2
正确答案:B
解析:等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2,代入f(x)=Ce2x得C=ln2.故f(x)=e2xln2知识模块:常微分方程
3.(1993年)设曲线积分与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)=0,则f(x)等于
A.
B.
C.
D.
正确答案:B
解析:由得f’(x)+f(x)=ex解此方程得f(x)=e-x(e2x+C)由f(0)=0得,故知识模块:常微分方程
填空题
4.(1992年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________.
正确答案:(x+c)cosx.
解析:由线性方程通解公式得知识模块:常微分方程
5.(1996年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________.
正确答案:特征方程为λ2一2λ+2=0,解得λ1,2=1±i,则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解.则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex涉及知识点:常微分方程
6.(1999年)y”一4y—e2x的通解为y=____________.
正确答案:C1e-2x+C2e2x+xe2x.
解析:特征方程为λ2一4=0,则λ=一2,λ2=2,从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根,则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为y=C1e-2x+C2e2x+xe2x知识模块:常微分方程
7.(2000年)微分方程xy”+3y’=0的通解为____________.
正确答案:
解析:令y’=p,则y”=p’.代入原方程得解得因此知识模块:常微分方程
8.(2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为___________.
正确答案:y”-2y’+2y=0
解析:所求方程的特征根为λ1,2=1,±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0知识模块:常微分方程
9.(2002年)微分方程yy”+y’2一0满足初始条件的特解是____________.
正确答案:y2=x+1或
解析:解1令y’=P,则代入原方程得解得可知,则所求的特解为y2=x+1解2由于原方程左端从而原方程可改写为因此yy’=C1以下求解同解1.知识模块:常微分方程
10.(2004年)欧拉方程的通解为___________.
正确答案:
解析:令z=et代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0解得ρ1=一1,ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t,将x=et代入得原方程通解为知识模块:常微分方程
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11.(1987年)求微分方程y”‘+6y”+(9+a2)y’=1的通解(一般解),其中常数a0.
正确答案:该方程对应的齐次方程的特征方程为λ3+6λ2+(9+a2)λ=0其根为λ1=0,λ2,
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