教学资料微积分疑问剖析讲座第一讲2011-10-23.pptx

第一讲

关于极限与连续的若干问题

谢云荪

2011-10-23

H

微积分疑难分析讲座

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科类

微积分

线性代数

概率统计

合计

满分

82

34

34

150

题型

选择题

填空题

解答题

合计

满分

32

24

94

150

全国硕士研究生入学统一考试高等数学试卷

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

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返

全校高等数学竞赛每年九月举行

全国大学生高等数学竞赛每年十月下旬举行全校数学建模竞赛每年五月举行

全国大学生数学建模竞赛每年九月下旬举行

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

每年两大数学竞赛活动

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返

杰出校友、“网易”总裁、中国“首富”

丁磊笑谈精彩人生：

强者创造机会智者抓住机会弱者等待机会

当一个人没有奋斗目标时，任何方向对他来说都是不顺的。成功不会一帆风顺，会有跌倒，但不要放弃!

诚信勤奋学会学习不迷信权威!

财富有两层含意：一是财富，一是才富!

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

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返

解决实际问题

计算

应用

基本方法

性质

基本定理

定义

基本概念

实际问题

HHHHHHHHHH

证明

页返

学好微积分课程在大学具有奠基性作用

学习第一章的重要性

函数是微积分的研究对象

极限理论是微积分的理论基础

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HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

一、怎样理解数列极限的“ε,N”定义与函数极限的“e,δ”定义

数列极限的概念

⇔Ve0,3N∈N+,Vn:nN≥|x₁-ake.

⇔Ve0,3N∈N,Vn:nNa-ex₁a+E.

→任给一个a的ε邻域(a-ε,a+ε),总存在正整数N,

使得从xv₄项起，数列对应的点全部落入(a-ε,a+ε)中.

务在点a的任何邻域之内有数列{x,}的无限多个点.

{x,}:-1,1,-1,1,-1,1,,(-1)”,

⇔在点a的任何邻域之外只有数列{x,}的有限多个点·

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上

行

x,=a

数列极限的概念

lim

⇔nVe0,3N∈N,Vn:nN→|x₁-ake.

→任给一个a的ε邻域(a-ε,a+ε),总存在

正整数N,使得从xv₁项起，数列对应的点

全部落入(a-ε,a+ε)中.

干⇔在点a的任何邻域之外数列{x,}只有有限多个点.

→00

比

⇔{x,}的V子列(x。)都有limx=a

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f(x)在U(x₀)有定义，limf(x)=A

x→Xo

⇔Vɛ0,3δ0,Vx:01x-x₀Kδ,If(x)-AKε.

⇔Ve0,3δ0,Vx∈U(x,δ),A-ɛf(x)A+E

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

函数极限的概念

y

A+E

A

A-E

{5

OX₀

y=f(x)

δ

X₀+δ

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X

X0

(x→x

函数极限的概念

f(x)在U(x₀)有定义，

⇔Ve0,3δ0,Vx:0|x-x₀kδ,|f(x)-AKe.

⇔f(x₀-0)=f(x₀+0)=A

⇔Vx,→x₀,x₂∈U(x₀),都有

⇔f(x)=A+无穷小或

f(x)-A=无穷小₀)

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许子子子

取x(有理数)→x:limD(x)=1,

xn→xo

取x”(无理数)→x₀:limD(x”)=0.

x”→xo

为有理数

为无理数

limD(x)?

x→X⁰

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

Vx₀(-o,+o),

1,x0,x

D(x

下页返正

函数极限的概念

f(x)在U(x₀)有定义，limf(x)=A

⇔Ve0,3δ0,Vx:0|x-x₀kδ,If(x)-AKe.

x→x₀,x→x₀,x→x₀,f(x)→A

x→o,x→+o,x→-00,

无穷大量：f(x)→w,f(x)→+o,f(x)→-o,

VM0,3X0,Vx:x-X,f(x)M

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HHHHHHHHHHHHHHHH

局部有界性；

(2)局部保号性；(3)不等式性质；

(4)四则运算法则；(5)复合运算法则.

二、极限的性质及运算法则要注意什么问题?

f(x)≥g(x)→

limf(x)≥lim

x→Xox→Xo

g(x)3→lim(f±g)=limf±l