考研数学一概率论知识点概要.doc

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第一章随机事件概率

随机试验：满足以下三个条件的试验：

（1）可重复；

（2）知道所有可能；

（3）结果不可预知。

样本点：每一个可能的结果叫做一个样本点。

样本空间：全体样本点的集合，记为。

随机事件：随机试验中每一个可能出现的结果，叫做随机事件。

基本事件：试验中不可再分的事件。

不可能事件：不可能发生的事件。

必然事件：必定要发生的事件。

复合事件：由两个或两个以上的事件构成的事件。

事件的关系与运算：

事件的关系

定义

文氏图

：包含关系：

事件B发生必然导致事件A发生，则称事件A包含事件B。

事件相等：

A=B

事件A,B相互包含，就称事件A,B相等。

互斥事件：

AB=不可能同时发生的事件

对立事件：

若AB=且，称事件A,B对立事件。

两者之一必然发生，但又不可能同时发生的事件。

事件的并：

事件A,B中至少有一个发生，称事件发生。

事件的差：A-B

事件A发生且B不发生，

事件的交：

事件A,B同时发生，称事件发生。

概率：事件发生可能性大小的描述。

条件概率：设A,B是两个基本事件，且P(A)0，则：

称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

事件的独立性：如果两事件A,B满足：,则称A与B独立。

A,B独立

独立和互斥的关系：时，独立一定不互斥，互斥一定不独立。

对于三个以上的事件：相互独立两两独立，两两独立退不出相互独立。

取反运算不改变事件的独立性：相互独立相互独立相互独立。

概率的基本性质：

非零性：

归一性：

：

古典概率满足：

（1），试验的样本空间的元素只有有限个；

（2），每个样本点出现的可能性相等：

古典概型事件A的计算公式：

n---样本点数，k---事件A包含的样本点数。

几何概率：随机试验E的样本空间为一个欧氏空间的一个区域，且每个样本点出现的可能性相同。

计算公式：

加法公式（加奇减偶公式）：对于任意事件A,B,C有：

减法公式：

乘法公式：对事件A,B,且P（A）0，P(B)0,有：

完备组（分割，划分）：如果事件组满足

（1），

（2），，

这样的事件组成为一个完备组。

全概率公式：设为一个完备组，则对于事件A发生的概率为：

贝叶斯公式：设为一个完备组，，,则有：

,j=1,2,…,n。

事件的运算规则：

交换律：

结合律：

分配率：

德-摩根率：,

除独立性外，无法从概率关系推出事件关系。

排列组合知识：

排列：从n个不同的元素中m个按特定顺序排成一列，称为从n个元素中取m个元素的一个排列。

全排列：将n个不同元素全部取出的排列。

规定。

组合：从n个不同元素中取m个元素，排成无序的一组，称为从n个元素中取m个元素的一个组合，记为：

组合的性质：

第2章一维随机变量

随机变量：定义在样本空间上的样本点的实值函数,随机变量一般用大写字母X表示，其取值用小写字母x,y,z来表示。

离散型随机变量的分类：

离散型随机变量：X的取值为有限个或无限可列多个。用分布列来表示。

连续型随机变量：X的取值为某区间上的所有值。用分布函数来表示。

非离散也非连续：

连续型随机变量的概率分布：

一维随机变量X的分布

几何表示

X是一个随机变量，对于任意实数x，称函数：，，为X的分布函数。

（完整的F(x)表达式必须从写到）

随机变量X的分布函数，是满足下列条件的函数：

，

（完整的F(x)表达式自变量必须从写到）

1,

2，，

3，F(x)是不减函数，

4，F(x)右续函，对于任意点，有：

X为离散型

X为连续型

概率分布：，

分布率：

X

P

性质：

非负，归一，

写离散型随机变量的概率分布，先确定X的所有取值，在确定X取特定值时的概率。

如非负函数满足：

（）

则称f(x)为X的概率密度函数，简称密度函数：

1，非负：归一：

归一：

2，，x为f(x)的连续点。

3，F(x)是连续函数。

4，对任意点x,都有P(X=x)=0。

5，对于任意ab有：

可见，对连续型随机变量，个别点（甚至有限个点）的存在与否，不影响区间上的概率值。

重要离散分布：

1,0-1分布：设事件发生的概率为p。

X

0

1

1-p

p

2，二项分布：

伯努利概型（考研中能建模的唯一概率模型）：试验E只有两个结果和的概型。

n重伯努利概型：将伯努利概型独立重复n次，则称为n重伯努利概型。若P(A)=p,则n次试验中事件A发生k次的概率为：

，

称X服从参数为的二项分布，记为：。

3，泊松分布：

定义：对于常数，如果随机变量X的分布律为：

，

则称X服从参数为的泊松分布，记为：。

泊松定理：