计算方法-7-数值积分的基本方法.ppt

计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院*计算方法（2016/2017第一学期）贾飞西南科技大学制造科学与工程学院*计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院*数值积分的基本方法2016/2017学年第一学期（16周）我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式求定积分的值,但它并不能完全解决定积分的计算问题，在实际计算中经常遇到以下三种情况：数值积分(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就无能为力了(2)还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数数值积分(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况,需研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。数值积分的思想：将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分。本章的主要内容：用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分。数值积分积分值在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如下图所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)数值积分建立数值积分公式的最常用的两种方法：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的,因而的值也是未知的,称为f(x)在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平均高度提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法积分中值定理①梯形公式②中矩形公式aby=f(x)ay=f(x)b(a+b)/2ab三种求积公式③Simpson公式y=f(x)ab(a+b)/2（2）先用某个简单函数近似逼近f(x),用代替原被积函数f(x)，即以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将选取为插值多项式,f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替插值型求积公式设已知f(x)在节点有函数值,作n次拉格朗日插值多项式式中这里多项式P(x)易于求积,所以可取作为的近似值，即插值型求积公式其中称为求积系数。定义求积公式其系数时，则称求积公式为插值求积公式。由决定，与无关。节点f(x)（1）插值型求积公式设插值型求积公式的余项其中当f(x)是次数不高于n的多项式时，有=0,求积公式(1)能成为准确的等式。由于闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。插值型求积公式定义（代数精度）设求积公式（1）对于一切次数小于等于m的多项式是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）由定义可知，若求积公式(1)的代数精度为n，则求积系数应满足线性方程组：或插值型求积公式这是关于的线性方程组，其系数矩阵是范得蒙矩阵,当互异时非奇异,故有唯一解。插值型求积公式定理n+1个节点的求积公式为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n次代数精度。证:充分性设n+1个节点的求积公式为插值型求积公式,求积系数为又当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度。插值型求积公式精确成立,即而取时所以有,即求积公式为插值型求积公式必要性若求积公式至少具有n